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Hallo, ich möchte die Rotation zu dem folgenden Vektorfeld berechnen und gern Wissen was das Ergebnis bedeutet?

\( \vec{A} \)  = \( \begin{pmatrix} 2xy²\\2x²y\\12xz² \end{pmatrix} \)


ich würde mihc freuen, wenn jeamnd zeigen könnte wie man das berechent....  

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Aloha :)

$$\vec\nabla\times\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y\\12xz^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y\\12xz^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\0-12z^2\\4xy-4xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-12z^2\\0\end{array}\right)$$Das angegebene Vektorfeld hat Wirbel, die sich rechts herum um die \(y\)-Achse drehen. Die Winkelgeschwindigkeit der Rotation beträgt \(\omega=-6z^2\).

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank, und wie hast du die Wirbelgeschwindigkeit bestimmt?

Einfach immer geteilt durch zwei?

Die Rotation wird beschrieben durch die Winkelgeschwindigkeit \(\vec\omega\). Dabei ist die Richtung von \(\vec\omega\) die Drehachse und \(\|\vec \omega\|\) die Winkelgeschwindigkeit. Im Abstand \(\vec r\) von der Drehachse gilt für die Geschwindigkeit \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\).

Wenn du jetzt nur das Geschwindigkeitsfeld \(\vec v\) hast (was in deinem Fall dem Feld \(\vec A\) entspricht) und ermittelst davon die Rotation, bekommst du:

$$\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}(\vec\omega\times\vec r)=\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2r_3-\omega_3r_2\\\omega_3r_1-\omega_1r_3\\\omega_1r_2-\omega_2r_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\omega_1-(-\omega_1)\\\omega_2-(-\omega_2)\\\omega_3-(-\omega_3)\end{pmatrix}=2\vec\omega$$

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