Die Rotation wird beschrieben durch die Winkelgeschwindigkeit \(\vec\omega\). Dabei ist die Richtung von \(\vec\omega\) die Drehachse und \(\|\vec \omega\|\) die Winkelgeschwindigkeit. Im Abstand \(\vec r\) von der Drehachse gilt für die Geschwindigkeit \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\).
Wenn du jetzt nur das Geschwindigkeitsfeld \(\vec v\) hast (was in deinem Fall dem Feld \(\vec A\) entspricht) und ermittelst davon die Rotation, bekommst du:
$$\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}(\vec\omega\times\vec r)=\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2r_3-\omega_3r_2\\\omega_3r_1-\omega_1r_3\\\omega_1r_2-\omega_2r_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\omega_1-(-\omega_1)\\\omega_2-(-\omega_2)\\\omega_3-(-\omega_3)\end{pmatrix}=2\vec\omega$$