Winkel im Einheitskreis berechnen mit 2 Bedinungn?

Question

Hallo,

ich soll unter den Bedinungen cos(α)= -0.5 und sin(α)<0 den Winkel herausfinden. Ich weiß zwar wo der Winkel ungefähr liegt und das es 240° sind aber, das hab ich nur durch ausprobieren rausgefunden. Gibt es bei solchen Aufgaben eine bessere Vorgehensweise?

Danke und LG

Answer 1

Hallo,

Zeichne das, was gegeben ist, im Einheitskreis ein.

Die rote Strecke steht für \(\cos \alpha = -0,5\). Wenn sie von \(O\) aus nach links zeigt, ist der \(\cos \alpha \lt 0\). Da wo die schwarze Senkrechte den Einheitskreis schneidet, findest Du die Winkel \(\alpha\), für die \(\cos \alpha = -0,5\) ist. Mit der zusätzlichen Forderung, dass \(\sin \alpha \lt 0\) sein soll, kommt nur der untere Schnittpunkt \(X\) in Betracht.

Das schattierte Dreieck ist ein gleichseitiges (warum?) mit Innenwinkeln von \(60°\) - daraus folgt dann auch unmittelbar der gesuchte Winkel (blau) $$\alpha = -180° + 60 ° = -120° = 240°$$

Answer 2

Wenn cos(α)=-0,5 uns sin(α)<0 ist, muss das im Einheitskreis wie oben  eingetragen werden. 90°+90°+60°=240°.