Zeige: Ableitungsfunktion zu f(x)= u(x) - v(x) hat den Term f'(x)= u'(x) - v'(x)

Question

Die Ableitungsfunktion zu f(x)= u(x) - v(x) hat den Term f'(x)= u'(x) - v'(x)

A) Beweise es mithilfe des Differenzenquotienten von f.

B) Beweise es unter Verwendung schon bewiesener Ableitungsregeln.

Ich hab es probiert,aber einfach nicht hinbekommen.

Ich bitte hiermit um Hilfe!

Danke

Answer 1

A) Beweise es mithilfe des Sifferenzenquotienten von f.

\(\begin{aligned} f'(x) & =\lim_{h\to0}\frac{\left(u(x+h)-v(x+h)\right)-\left(u(x)-v(x)\right)}{h}\\ & =\dots\\ & =\lim_{h\to0}\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}-\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}-\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\ & =u'(x)-v'(x) \end{aligned}\)

Wo die Auslassungspunkte sind, da musst du noch irgendwas mit Bruchrechnung machen.

B) Beweise es unter Verwendung schon bewiesene Ableitungsregeln.

Ich vermute mal, die schon bewiesenen Ableitungsregeln sind Summen- und Faktorregel.

\(\begin{aligned} f(x) & =u(x)-v(x)\\ & =u(x)+\left(-v(x)\right)\\ & =u(x)+\left(-1\right)\cdot v(x) \end{aligned}\)

Jetzt kannst du mit Summen- und Faktorregel ableiten.

Comments

Danke,das ist sehr hilfreich .

Answer 2

A) Beweise es mithilfe des Differenzenquotienten von f.

(f(x+h)-f(x))/h=[u(x+h)-v(x+h)-(u(x)-v(x))]/h=(u(x+h)-u(x))/h-(v(x+h)-v(x))/h