Parameterdarstellung einer Funktion

Question

Wie würde die Parameterdarstellung der Sekanten im Intervall [0;3] zu dieser Funktion lauten.  f(x) = 1/3 · (x+3)·(x-3)²

Answer 1

Aloha :)

Die Sekante läuft vom Punkt \((0|f(0))=(0|9)\) bis zum Punkt \((3|f(3))=(3|0)\).Die Sekante erhalten wir daraus, dass die Steigung einer Geraden an jedem Punkt gleich ist:$$\frac{y-f(0)}{x-0}=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{0-9}{3-0}=-3\;\Rightarrow\;y-f(0)=-3x\;\Rightarrow\;y=-3x+9$$Damit lautet die Parameterform:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{-3x+9}=\binom{0}{9}+x\binom{1}{-3}\quad;\quad x\in[0;3]$$

~plot~ 1/3*(x+3)(x-3)^2 ; -3x+9 ; {3|0} ; {0|9} ; [[-0,5|3,5|-1|10]] ~plot~

Comments

x ist unser Parameter, und der Ortsvektor (0/0) oder?

Würde dieser Paramterdarstellung stimmen?

g: X= (0/0)+x(1/-3)

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Fast, aber der Startvektor ist \(\binom{0}{9}\). \(x\) ist unser Parameter und liegt zwischen 0 und 3. Den kannst du auch anders nennen, \(s\) oder \(Emma\), wie du möchtest ;)

Die Parametergleichung habe ich ja schon angegeben:$$\binom{x}{y}=\binom{0}{9}+x\binom{1}{-3}$$Vermutlich habt ihr das im Unterricht so gelernt:$$g:\;\vec x=\binom{0}{9}+s\binom{1}{-3}\quad;\quad s\in[0;3]$$

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Ja genau (0/9) ist der Ortsvektor ich habe den Plotlux vorher nicht gesehen, bzw. die bearbeitete Antwort. VIELEN HERZLICHEN DANK FÜR DIE MÜHE; besser konnte man es nicht erklären. Das einzige was ich nicht so richtig verstehe ist wie du auf y-f(0)=-3x und daraufhin auf y= -3x+9 kamst.

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Oha, danke für den Hinweis, das war ich wohl einen Schritt zu schnell:$$\left.y-f(0)=-3x\quad\right|\;+f(0)$$$$\left.y=-3x+f(0)\quad\right|\;f(0)=9$$$$\left.y=-3x+9\quad\right.$$

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TOP, nichts mehr zu beanstanden

LG

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Das einzige was ich nicht so richtig verstehe ist wie du auf y-f(0)=-3x .. kamst.

Vorne steht doch $$\frac{y - f(0)}{x-0} = \dots = -3$$das mit \(x\) multiplizieren gibt$$y - f(0) = -3x$$

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Ja habs herausgefunden , danke trotzdem .

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Hallo noch eine allerletze Frage wie würde die Normale und die Parallele der Sekanten lauten, die durch den Punkt (2/5) gehen?

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Hallo noch eine allerletze Frage wie würde die Normale und die Parallele der Sekanten lauten, die durch den Punkt (2/5) gehen?

Die Steigung der Sekanten ist  \(m=-3\). Eine Parallele \(p\) durch den Punkt (2|5) hätte die Gleichung$$p(x) = -3(x-2) + 5 = -3x + 11$$Eine Normale \(n\) hätte dieSteigung$$m' = \frac {-1}{m} = \frac 13$$ und somit die Gleichung$$n(x) = \frac 13(x-2) + 5 = \frac 13x + \frac{13}3$$zur Überprüfung im Plotlux:

~plot~ 1/3*(x+3)(x-3)^2;-3x+9;{3|0};{0|9};[[-7|15|-2|12]];{2|5};-3x+11;(x+13)/3 ~plot~

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Danke aber dumme Frage wieso x-2 und nicht x+2?

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Danke aber dumme Frage wieso x-2 und nicht x+2?

Anschaulich erklärt:

Wenn eine Gerade mit Steigung \(m\) durch \((2|5)\) verläuft, so lautet ihre Gleichung$$y = m (x -2) + 5$$allein schon deshalb, da \(y(2)=5\) sein muss. Setze doch mal für \(x\) die \(2\) ein. Da darf das \(m\) keine Rolle mehr spielen, was man dadurch erreicht, dass der Faktor hinter \(m\) zu 0 wird (und nicht z.B. 4):$$y(x=2) = m \underbrace{(2-2)}_{=0} + 5 $$Jetzt könnte man natürlich argumentieren, dass bei \(y\) ja auch \(+5\) und nicht \(-5\) dasteht. Ich behaupte, dass das bei dem X-Wert genauso ist - man muss nur richtig hinschauen:$$\begin{aligned} y &= m(x-2) + 5 \\ y- 5 & = m(x-2) \\ \frac 1m(y-5) &= x - 2 \\ x &= \frac 1m(y- 5) \colorbox{#ffff00}+ 2\end{aligned}$$alles klar?

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Ja vielen Dank

Answer 2

Es gilt \(\vec{r}=\begin{pmatrix} x\\ s(x) \end{pmatrix}\) wobei \(s(x)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-b)+f(b)\) mit \(a,b\in [0,3]\), aber \(a\neq b\).

Comments

Ich komm nicht klar wie jetzt die Paramterdarstellung lautet.Wie lautet der Lösungsweg