Parameterdarstellung von Schnitt

Question

ich suche nach einer Parametrisierung von dem Schnitt der Fläche \( x^{2} \) + \( y^{2} \) + \( z^{2} \) = 4z und der Ebene 3x -4z + 8 = 0

Man kann \( x^{2} \) + \( y^{2} \) + \( z^{2} \) = 3x + 8 setzen. Ich habe noch für z, z = \( \sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}} \)

Wenn ich dieses z dann in \( x^{2} \) + \( y^{2} \) + \( z^{2} \) = 4z einsetze, komme ich auf 8+3x = 4 * \( \sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}} \)

Dies mit aufgelöster Wurzel liefert nun 25\( x^{2} \)+102x+16\( y^{2} \)-64=0 was mir auch nicht wirklich was bringt?

Wie finde ich hiervon eine Parameterdarstellung?

Comments

x(t)=1,6*cos(t) , y(t)=2*sin(t) , z(t)=2+1,2*cos(t) , 0 ≤ t < 2π

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Ich habe für 25\( x^{2} \)+102x+16\( y^{2} \)-64=0 noch rausbekommen, dass x=0 und y=±2 ist

Wie bist du auf deine Werte gekommen?

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@Mathe... Prüfe nochmal, was mit dem x-Term bei Deiner Umformung passiert.

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Wir haben 3x + 8 = \( x^{2} \) + \( y^{2} \) + \( z^{2} \) = 4z

z =\( \sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}} \)

3x + 8 = 4 * \( \sqrt{8-x^{2}+3x-y^{2}} \) | wir quadrieren

\( (3x+8)^{2} \) = 16 * (8 - \( x^{2}+3x-y^{2} \) )

9\( x^{2} \)+48x+64 = -16\( x^{2} \)+48x-16\( y^{2} \)+128

25\( x^{2} \)+16\( y^{2} \)-64=0

So sollte es nun stimmen, richtig?

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Die Parametrisierung lautet nun:

γ(t) = (\( \frac{8}{5} \)*r*cos(t), 2*r*sin(t), z) mit r ∈ [0,1] und t∈[0,2π] 

Stimmt das?

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Wenn Du 2 Flächen schneidest, was sollte dann das Ergebnis sein (Fläche, Kurve)?

Was soll mit z sein?

Lies bitte die gegebenen Kommentare

Answer 1

Aloha :)

Die erste Fläche ist die Oberfläche einer Kugel:$$x^2+y^2+z^2=4z\implies x^2+y^2+(z^2-4z+\pink4)=\pink4\implies$$$$F\colon\; x^2+y^2+(z-2)^2=4$$Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(0|0|2)\) und den Radius \(r=2\).

Die zweite Fläche ist eine Ebene:$$3x-4z+8=0\implies 4z=3x+8\implies z=\frac34x+2\implies$$$$E\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\frac34x+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+\frac {5x}{4}\begin{pmatrix}\frac45\\0\\\frac35\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Die Ebene geht durch den Mittelpunkt \(M(0;0;2)\) der Kugel.

Der Schnitt beider Flächen ist also ein Kreis mit Mittelpunkt \(M(0;0;2)\) und Radius \(r=2\). Die beiden Richtungsvektoren der Ebene \(E\) haben wir bereits ortho-normiert angegeben, sodass wir den Schnittkreis wie folgt beschreiben können:$$K\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+2\cos\varphi\cdot\begin{pmatrix}\frac45\\0\\\frac35\end{pmatrix}+2\sin\varphi\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Oder kürzer geschrieben:$$K\colon\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac25\begin{pmatrix}4\cos\varphi\\5\sin\varphi\\5+3\cos\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Comments

Vielen Dank, Tschakabumba

Answer 2

Wenn 25\( x^{2} \)+102x+16\( y^{2} \)-64=0 stimmt,

dann kannst du umformen:

  \(25 x^{2} +102x+16 y^{2} -64=0\)

\(25 x^{2} +102x+16 y^{2}  = 64\) 

\(25 (x^{2} +\frac{102}{25}x) +16 y^{2}  = 64\)

\(25 (x^{2} +\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}-\frac{2601}{625}) +16 y^{2}  = 64\)

\(25 (x^{2} +\frac{102}{25}x+\frac{2601}{625}) -\frac{2601}{25} +16 y^{2}  = 64\)

\(25 (x^{2} +\frac{51}{25})^2 -\frac{2601}{25} +16 y^{2}  = 64\)

\(25 (x^{2} +\frac{51}{25})^2  +16 y^{2}  = \frac{4201}{25}\)

\( \frac{625}{4201} (x^{2} +\frac{51}{25})^2  +\frac{400}{4201} y^{2}  =1\)

\( \frac{(x^{2} +\frac{51}{25})^2}{\frac{4201}{625} }   +\frac{y^2}{\frac{4201}{400}}  =1\)

Das ist also eine Ellipse mit Mittelpunkt \( (-\frac{51}{25} ; 0) \).

(Rechne mal lieber nach !)

Und dann Parametergleichung in Anlehnung an https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

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Sorry, habe es vergessen in die Frage zu packen.

Für 25\( x^{2} \)+102x+16\( y^{2} \)-64=0 habe ich noch rausbekommen, dass x=0 und y=±2 ist