Aufgabe über Endomorphismen und endlich-dimensionale Vektorräume

Question

Aufgabe \( 3(2+2+6 \text { Punkte }) \) Seien \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum und \( f \in \operatorname{End}_{K}(V) \) ein Endomorphismus.
(a) Zeigen Sie, dass
$$ \operatorname{ker}(f) \subseteq \operatorname{ker}\left(f^{2}\right) \text { und } \operatorname{im}(f) \supseteq \operatorname{im}\left(f^{2}\right) $$
(b) Zeigen Sie, dass
$$ \operatorname{rang}(f)=\operatorname{rang}\left(f^{2}\right) \Longleftrightarrow \operatorname{def}(f)=\operatorname{def}\left(f^{2}\right) $$
(c) Angenommen, \( \operatorname{def}(f)=\operatorname{def}\left(f^{2}\right) . \) Zeigen Sie, dass \( V=\operatorname{ker}(f) \oplus \operatorname{im}(f) \)

Frage:

Hallo ! Ich wollte fragen was ich nochmals wissen muss, um diese Aufgabe zu bearbeiten, ich habe gerade keine Ahnung wie ich hier anfangen sollte ? Danke vielmals für die Hilfe.

Answer 1

Für den ersten Teil brauchst du nur die Def. vom Kern

und dass bei einer lin. Abb. immer f(0)=0 ist:

Sei x ∈ Ker(f)

==>  f(x) = 0

==>  f(f(x)) = f(0) = 0

==> x ∈ Ker(f^2 ).

Versuch mal sowas ähnliches mit dem Bild.

Für b) bedenke: def(f) ist die Dimension vom kern,

rang(f) ist die Dim. vom Bild.

Für c) brauchst du noch die Def. der direkten Summe.

Comments

Zur b) ich hab da etwas. Ich weiß nicht ob das stimmt.

dim(f) = rang(f) + def(f)

⇔ def(f) = dim(f) - rang(f)

⇔ def(f) = dim(f) - rang(f²)

⇔ def(f) = dim(f²) - rang(f²)

⇒ def(f) = def(f²)

Rückrichtung analog.

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Ich finde, dass man da nicht so leicht folgen kann.

Du verwendest offenbar die bekannte Gleichung

für f    dim(V) = rang(f) + def(f)    Beachte: V

 für f^2  dim(V) = rang(f^2) + def(f^2)

die du umformen kannst zu

def(f) = dim(V) - rang(f) und

def(f^2) = dim(V) - rang(f^2)

Dann sieht man m.E. leichter, dass aus der Vor.

rang(f) = rang(f^2)  durch Einsetzen in die

erste Gleichung def(f)=def(f^2) folgt.