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Aufgabe \( 3(2+2+6 \text { Punkte }) \) Seien \( K \) ein Körper, \( V \) ein endlichdimensionaler \( K \) -Vektorraum und \( f \in \operatorname{End}_{K}(V) \) ein Endomorphismus.
(a) Zeigen Sie, dass
$$ \operatorname{ker}(f) \subseteq \operatorname{ker}\left(f^{2}\right) \text { und } \operatorname{im}(f) \supseteq \operatorname{im}\left(f^{2}\right) $$
(b) Zeigen Sie, dass
$$ \operatorname{rang}(f)=\operatorname{rang}\left(f^{2}\right) \Longleftrightarrow \operatorname{def}(f)=\operatorname{def}\left(f^{2}\right) $$
(c) Angenommen, \( \operatorname{def}(f)=\operatorname{def}\left(f^{2}\right) . \) Zeigen Sie, dass \( V=\operatorname{ker}(f) \oplus \operatorname{im}(f) \)


Frage:


Hallo ! Ich wollte fragen was ich nochmals wissen muss, um diese Aufgabe zu bearbeiten, ich habe gerade keine Ahnung wie ich hier anfangen sollte ? Danke vielmals für die Hilfe.

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Für den ersten Teil brauchst du nur die Def. vom Kern

und dass bei einer lin. Abb. immer f(0)=0 ist:

Sei x ∈ Ker(f)

==>  f(x) = 0

==>  f(f(x)) = f(0) = 0

==> x ∈ Ker(f^2 ).

Versuch mal sowas ähnliches mit dem Bild.

Für b) bedenke: def(f) ist die Dimension vom kern,

rang(f) ist die Dim. vom Bild.

Für c) brauchst du noch die Def. der direkten Summe.

Avatar von 289 k 🚀

Zur b) ich hab da etwas. Ich weiß nicht ob das stimmt.

dim(f) = rang(f) + def(f)

⇔ def(f) = dim(f) - rang(f)

⇔ def(f) = dim(f) - rang(f2)

⇔ def(f) = dim(f2) - rang(f2)

⇒ def(f) = def(f2)

Rückrichtung analog.

Ich finde, dass man da nicht so leicht folgen kann.

Du verwendest offenbar die bekannte Gleichung

für f    dim(V) = rang(f) + def(f)    Beachte: V

 für f^2  dim(V) = rang(f^2) + def(f^2)

die du umformen kannst zu

def(f) = dim(V) - rang(f) und

def(f^2) = dim(V) - rang(f^2)

Dann sieht man m.E. leichter, dass aus der Vor.

rang(f) = rang(f^2)  durch Einsetzen in die

erste Gleichung def(f)=def(f^2) folgt.

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