Question

Was ist die kleinste durch 2013 teilbare natürliche Zahl die auf 2012 endet? Danke schonmal? N

Comments

Ich vermute mal, du suchst eine Zahl z in IN, für die gilt.

z = n* 2013

und

z =   m*10^4 + 2012

mit m und n in IN

n*2013 = m*10^4 + 2012 soll mit möglichst kleinem m und n gelöst werden.

Answer 1

Ich denke vivess Antwort ist nicht richtig.

Du suchst vielmehr die kleinste Zahl der Form

xxx...xx2012 = k*2013

mit k∈N, wobei das x beliebige Ziffern bedeutet.

 

Ich denke die kleinste Zahl ist

9912012 = 4924*2013

Wie komme ich darauf?

Schreiben wir mal k in der Form:
k_nk_n-1 ... k₃k₂k₁
Die letzte Ziffer von k, also k₁, muss auf jeden Fall eine 4 sein, damit sich als letzte Ziffer des Produkts eine 2 ergibt, denn 4*3 = 12. Damit erhält man für die vorletzte Ziffer des Produkts:

1 = (1 + 4*1 + k₂*3) mod 10

(Die 1 ist der Übertrag von der Stelle davor, 4*1 ist die Einerstelle von k mal die Zehnerstelle von 2013 und k₂*3 ist die Zehnerstelle von k mal die Einerstelle von 2013.)

mod 10 bedeutet den Rest bei der Teilung durch 10, denn alles was über 10 ist, geht ja in die nächste Ziffer über.

Also gilt:

1 = (5 + 3k₂) mod 10

Wegen k₂ ∈[0, 9] gilt also:

3k₂ = 6

k₂ = 2

Dann erhält man für die dritte Stelle des Produkts:
0 = (1 + 4*0 + 2*1 + k₃*3) mod 10

0 = (3+3k₃) mod 10

0 = (3*(k₃+1)) mod 10  |:3

0 = (k₃+1) mod 10

k₃+1 muss also durch 10 teilbar sein, das heißt k₃ = 9.

Für die vierte Stelle:

2 = (3+4*2+2*0+9*1+k₄*3) mod 10

2 = (20 + 3k₄) mod 10

Hier kann man (a + b) mod c = (a mod c + b mod c) mod c verwenden.

2 = (20 + 3k₄ mod 10) mod 10

0 = (8 + 3k₄ mod 10) mod 10

Also muss 3k₄ bei Teilung durch 10 den Rest 2 ergeben.

Die kleinste Zahl für die das gilt ist k₄ = 4.

 

Da die anderen Ziffern des Produkts egal ist, haben wir damit unser k zusammen:

k = 4924

Answer 2

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann suchst du eine Zahl, die du durch 2013 teilst und 2012 als Ergebnis hat?

Dann stellst du nach x um und hast als Ergebnis 4050156