Hallo,
meine Überlegungen führen zu ERROR 404
Überlegungen, die zu diesem Fehler führen sind keine Überlegungen, sondern ist höchstens ein Suchen ;-)
Ist eigentlich hier mal ausnahmsweise \(0 \in \mathbb N\)? Ok - das wäre zu einfach.
Diese gesuchte Zahl \(x\) muss nach der letztgenannten Bedingung die Form $$x = a^5 \cdot 5, \quad a \in \mathbb N$$haben. Zudem soll das Drittel eine dritte Potenz sein - heißt auch \(3 \mid a\), und da ein Teiler selten allein kommt$$x = 3^5 \cdot \left( \frac{a}{3} \right)^5 \cdot 5 = 3^5 \cdot b ^5 \cdot 5, \quad a = 3b, \space b \in \mathbb N \\ \frac x3 = 3^4 \cdot b^5 \cdot 5 = c^3, \quad c \in \mathbb N$$D.h. in \(b\) muss die \(5\) und auch die \(3\) enthalten sein! Ich setzte \(b=15d\) und erhalte$$\frac x3 = 3^4 \cdot 15^5 \cdot d^5 \cdot 5 = 3^9 \cdot 5^6 \cdot d^5 = c^3, \quad d \in \mathbb N $$das geht wohl nur gut, wenn \(d\) selbst eine Kubikzahl ist. \(x\) soll auch gerade sein, folglich \(2 \mid d\) - und das kleinst mögliche \(d\) wäre dann \(d=2^3=8\). Gibt $$x = 3^{10} \cdot 5^6 \cdot 2^{15} = 3^{2 \cdot 5} \cdot 5^{2 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 5}$$dass \(x/2\) eine Quadratzahl ist, sieht man sofort :)$$x = 30233088000000$$ Gute Nacht
Alternative Vorgehensweise:
mit Kenntnis der Lösung lässt sich das eleganter formulieren: Aus der Existenz einer Hälfte, eines Drittels und eines Fünftels der gesuchten Zahl \(x\) folgt \(2 \cdot 3 \cdot 5 \mid x\). Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass weitere Primfaktoren existieren. Folglich ist $$x = 2^k \cdot 3^l \cdot 5^m, \quad k,l,m \in \mathbb N$$und es muss gelten $$(k \equiv 1 \mod 2) \land ( l \equiv 0 \mod 2 )\land (m \equiv 0 \mod 2) \\ (k \equiv 0 \mod 3) \land ( l \equiv 1 \mod 3 )\land (m \equiv 0 \mod 3) \\ (k \equiv 0 \mod 5) \land ( l \equiv 0 \mod 5 )\land (m \equiv 1 \mod 5) $$Somit ist \(k=3\cdot 5\), \(l = 2 \cdot 5\) und \(m= 2 \cdot 3\)
