Folgen(Eigenschaften):Grenzverhalten

Question

Kann mir einer sagen, wie man das Grenzverhalten für n ins Unendliche beschreibt. 
\( a_{n}=\frac{5^{n}-3^{n}}{2^{n}+5^{n+1}+5^{n+2}} \)

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{5^n-3^n}{2^n+5^{n+1}+5^{n+2}}=\frac{\frac{5^n}{5^n}-\frac{3^n}{5^n}}{\frac{2^n}{5^n}+\frac{5^{n+1}}{5^n}+\frac{5^{n+2}}{5^n}}=\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^n}{\left(\frac{2}{5}\right)^n+5^1+5^2}=\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^n}{30+\left(\frac{2}{5}\right)^n}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(30+\left(\frac{2}{5}\right)^n\right)}=\frac{1}{30}$$

Comments

Vielen lieben Dank. :o Könntest du mir auch bei diesen Folgen hier weiterhelfen?Das wäre mega :o

\( a_{n}=\frac{\sqrt{2 n^{2}+n+2}}{\sqrt{n^{2}-n-1}+1} \)
\( b_{n}=-1+\frac{\cos (n)}{n} \)
\( c_{n}=n-\sqrt{n}+3 \)

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Klar doch. Aber ich habe dir bei deiner Original-Frage dazu geantwortet, damit du die Frage dort abschließen kannst ;)

Answer 2

Teile Zähler und Nenner durch 5^n. Wende dann Grenzwertsätze an.