Sprungschanze- Verständnis

Question

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ich wäre sehr dankbar für Hilfe oder einen Ansatz bei der folgenden Aufgabe:

Es soll eine Sprungschanze erbaut werden. Die Anforderungen an die Sprungschanze ist eine Höhe von mindestens 8 Metern und auf dem abfallenden Stück ein durchschnittliches Gefälle von mindestens 100%. Der Konstruktionszeichner modelliert das Profil dieser Schanze mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades: f(x)= 1/30x³ - 0,8x² +4,8x

x: horizontale Distanz in Metern  f(x): Höhe über Boden in Metern

1. Bestätige durch eine Rechnung, dass die erste Anforderung („Mindesthöhe von 8 Metern“)
erfüllt ist.
2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von dem höchsten Punkt der Sprungschanze zum
niedrigsten.
Begründe, dass dieser Wert bestätigt, dass auch die zweite Anforderung („durchschnittliches
Gefälle von mindestens 100%“) erfüllt ist.
3.  Bestimme das größte lokale Gefälle, dass auf dem abfallenden Abschnitt der Schanze auftritt.
Begründe, dass sich dieses Gefälle im Punkt (8 | f(8) ) befinden muss.

4.Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die Schanze eine Steigung von 2 hatrati

Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!

Liebe Grüße

Comments

Vielen, lieben Dank für die Antworten!! :))

Answer 1

Der Konstruktionszeichner modelliert das Profil dieser Schanze mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades: f(x)= 1/30x³ - 0,8x² +4,8x

Normalerweise steht in der Aufgabenstellung noch etwas über den Definitionsbereich, zum Beispiel

        0 < x < 13

oder Ähnliches. Falls dem so ist, dann ist das wesentlicher Bestandteil der Aufgabenstellung.

1. Bestätige durch eine Rechnung, dass die erste Anforderung („Mindesthöhe von 8 Metern“)
erfüllt ist.

Der Hochpunkt ist bei 4 und es ist f(4) > 8.

Weißt du wie man Hochpunkte berechnet?

2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von dem höchsten Punkt der Sprungschanze zum
niedrigsten.

Der Tiefpunkt ist bei 12.

Mittlere Änderungsrate zwischen Hoch- und Tiefpunkt ist

        \(\frac{f(12) - f(4)}{12-4}\).

Begründe, dass dieser Wert bestätigt, dass auch die zweite Anforderung („durchschnittliches
Gefälle von mindestens 100%“) erfüllt ist.

Ein durchschnittliches Gefälle von mindestens 100% liegt vor wenn die mittlere Änderungsrate höchstens -100% ist.

3.  Bestimme das größte lokale Gefälle, dass auf dem abfallenden Abschnitt der Schanze auftritt.

Bestimme das lokale Minimum der Ableitung.

Begründe, dass sich dieses Gefälle im Punkt (8 | f(8) ) befinden muss.

Berechne f'(8).

4.Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die Schanze eine Steigung von 2 hatrati

Löse die Gleichung

        f'(x) = 2.

Answer 2

Hallo Victoria,

ich unterstelle, dass die "Höhe" der Sprungschanze der Wert zwischen den beiden Extreme ist. Die Extrema findet man durch die 1.Ableitung$$\begin{aligned} f(x) &= \frac 1{30} x^3 - 0,8 x^2 + 4,8x \\ f'(x) &= \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 4,8 \to 0 \\ \implies x^2 - 16 x + 48 &= 0 \\ x_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 48 } = 8 \pm 4 \\ x_1 &= 4, \space x_2 = 12 \end{aligned}$$Die Sprungschanze befindet sich also im Intervall \([4;12]\). Und die Höhe \(h\) ist demzufolge$$f = f(4) - f(12) = \frac{128}{15} \gt \frac {120}{15} = 8$$Ist also höher als 8m und so sieht sie aus

~plot~ 1x^3/30-0.8x^2+4,8x;[[-2|17|-2|12]];{4|128/15};{12|0};-16(x-12)/15 ~plot~

2.) Die durchschnitliche Steigung \(m\) zwischen den beiden Extrema (entspricht der Steigung der roten Geraden oben) ist $$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(12) - f(4)}{12-4} = -\frac{16}{15} \lt -1$$100% Gefälle entspräche einer Steigung von -1. Die Steigung \(m\) ist kleiner, folglich hat sie mehr als 100% Gefälle.

3.) Die Position \(x=8\) ist gegeben. Setz man dies in \(f'(x=8)\) ein, so ergibt dies$$m_{\max} = f'(x=8) = -1,6 = -160\%$$

4.) Im Bereich der Schanze hat sie nie den Wert 2 (sicher, dass es nicht -2 ist?), da in diesem Bereich die Steigung immer negativ ist. Aber außerhalb$$\begin{aligned} f'(x) = \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 4,8 &= 2 \\ \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 2,8 &= 0\\ x^2 - 16x + 28 &= 0 \\ x_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 28 } = 8 \pm 6 \\ x_1 &= 2, \space x_2 = 14 \end{aligned}$$dort hat die Funktion die Steigung 2

~plot~ 1x^3/30-0.8x^2+4,8x;[[-2|17|-2|12]];{8|64/15};{2|20/3};2(x-2)+20/3;{14|28/15};2(x-14)+28/15 ~plot~

Gruß Werner

Answer 3

Das Ganze ist eine komplette Kurvendiskussion,nicht besonders schwer,aber viel Rechnerei

f(x)=1/30*x³-0,8*x²+4,8*x  Nullstelle bei x=0  Maximum xmax=4 ymax=8,533 Minimum xmin=12 ymin=0

f´(x)=0=1/10*x²-1,6*x+4,8 Nullstellen bei x1=4 und x2=12

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

f´´(x)=1/5*x-1,6   → f´´(4)=1/5*4-1,6=-0,8<0 also Maximum bei x=4

f´´(12)=1/5*12-1,6=0,8>0 also Minimum bei x=12

f(4)=1/30*4³-0,8*4²+4,8*4=8,533..>8  Bedingung erfüllt

durchschnittliche Steigung zwischen x=4 und x=12

m=(y2-y1)/(x2-x1) x2>x1 mit y1=f(4)=8,533  und y2=f(12)=0

m=(0-8,533)/(12-4)=-1,066..

Umrechnung Steigung in Prozent  p in tan(a)=Gk/Ak=m   →m=p/100%

also mit p=100% m=100%/100%=1  m=-1,066  Betrag|1,066| <|1|  Gefäälle ist gößer 1 erfüllt

3) größte Änderungsrate=größtes gefälle  f´(x)=m → maximal bei´m Wendepukt xw

f´(x)=1/10*x²-1,6*x+4,8 abgeleitet

f´´(x)=01/5*x-1,6 Nullstelle xw=1,6*5=8

Maximales Gefälle bei x=xw=8  Wendepunkt  mit f´(8)=m=1/10*8²-1,6*8+4,8=-1,6

zu 4) f´(x)=m=2=1/10*x²-1,6*x+4,8

0=1/10*x²-1,6*x+4,8-2

0=1/10*x²-1,6*x+2,8   Nullstellen x1=2 und x2=14

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