aufgabe signum bestimmen wie geht das

Question

Ich versteh nicht man diese Aufgabe löst.

Gegeben seien die Permutationen \( \sigma_{1}, \sigma_{2} \in S_{2 n} \) und \( \sigma_{3} \in S_{10} \) mit $$ \begin{array}{l} \sigma_{1}:=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & 2 n-1 & 2 n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 2 n & 1 \end{array}\right) \\ \sigma_{2}:=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & \dots & & n & n+1 & n+2 & \dots & 2 n \\ 1 & 3 & 5 & \dots & 2 n-1 & 2 & 4 & \dots & 2 n \end{array}\right) \end{array} $$ $$ \sigma_{3}:=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 7 & 10 & 2 & 6 & 9 & 8 \end{array}\right) $$
a) Bestimmen Sie \( \operatorname{sign}\left(\sigma_{1}\right) \) und \( \operatorname{sign}\left(\sigma_{2}\right) \)
b) Bestimmen Sie \( \sigma_{3}^{2020} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sigma Permutation bestimmen

Stichworte: lineare-algebra

Ich versteh nicht wie ich das tun soll.

\( \sigma_{3}:=\left(\begin{array}{cccccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 7 & 10 & 2 & 6 & 9 & 8\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie \( \sigma_{3}^{2020} \)

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Ist das nochmals https://www.mathelounge.de/722603/transposition-fehlstande-gerade-ungerade ?

Answer 1

a)  sign(σ₁)=-1 denn die Anzahl der Fehlstellungen ist ungerade,

weil nur Fehlstellungen dadurch vorhanden sind,

dass die 1 hinter den 2n-1 anderen Werten steht,

und 2n-1 ist ungerade.

b) Die ersten n Stück, sind die ungeraden in aufsteigender

Reihenfolge, also keine Fehlstellung dabei.

Die 2 steht dann falsch hinter 3,5,...,2n-1 also verursacht 
sie n-1 Fehlstellungen.

Die 4 steht dann falsch hinter 5,7,...,2n-1 also verursacht 
sie n-2 Fehlstellungen.

etc. bis zur 2n-2 die steht nur falsch hinter  der 2n-1

also noch 1 Fehlstellung.

Gibt insgesamt n-1 + n-2 + …..  +1   Fehlstellungen

also n*(n-1) / 2  Fehlstellungen.

==>  sign(σ₂) = (-1)^( n*(n-1) /2 )

also +1 für n hat mod 4 den Rest 0 oder 1

und -1 für n hat mod 4 den Rest 2 oder 3.

c) Du rechnest leicht nach, dass σ₃^3 die identische Permutation ist.

Also auch σ₃^3 und σ₃^6 und ... und σ₃^2019 .

Also ist σ₃^2020 = σ₃

Comments

kannst du n beispiel machen für c) ? 

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ich weiß gar nicht wie c) geht :(

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Zerlegt die Permutation in elementfremde Zyklen, das kgV der Zyklenlängen ist die Ordnung. Hier 3.