Untersuchen Sie die Graphen von ft auf Extrempunkte und bestimmen Sie gegebenfals die Ortskurve der Extrempunkte.

Question

a) ft(x)= x^2+2tx+2

mein Ansatz

2x+2t=0

aber ich weiss nicht wie weiter.

Answer 1

2x+2t=0

2x = -2t

  x = -t

und f ' ' (-t) = 2 > 0 , also bei x=-t ein Minimum mit

Tiefpunkt  ( -t ; f(-t) ) = ( -t ; -t^2 + 2 )

Ortskurve ist Graph der Funktion f mit f(t) = 2 - t^2

Answer 2

Hallo Anna,

mein Ansatz 2x+2t=0

Du hast die Ableitung gebildet und zu 0 gesetzt.

aber ich weiss nicht wie weiter.

zum Auffinden des Extrempunktes musst Du nun nach \(x\) auflösen$$\begin{aligned} 2x_e + 2t &= 0 \\ x_e+t &= 0 \\ x_e &= -t \end{aligned}$$Und für den Funktionswert setzt Du es wieder in \(f(x)\) ein$$\begin{aligned} f(x_e) &= f(-t) = (-t)^2 + 2t(-t) + 2 \\ &= t^2 - 2t^2 + 2 \\ &= -t^2 + 2 \end{aligned}$$Demnach hat die Funktion \(f_t(x)\) ihren Extrempunkt bei \((-t;\,-t^2+2)\). D.h. man kann jedem Wert \(-t\) einen Wert \(-t^2+2\) zuweisen. Da für das Quadrat das Vorzeichen irrelevant ist, gilt das auch für jeden Werte von \(t\). Folglich ist Ortskurve \(o(t)\) aller Extrempunkte$$o(t) = -t^2 + 2$$

Im folgenden Plot siehst Du die Funktion \(f_t(x)\) für unterschiedliche Werte von \(t\):

~plot~ x^2+2;x^2+2x+2;x^2+4x+2;x^2-1.5x+2;-x^2+2 ~plot~

alle Scheitel (also die Extrempunkte) der Parabeln liegen auf der gelben Parabel \(o(t)=-t^2+2\).

Gruß Werner