Hallo,
a)
zunächst schreibst du die Permutationsgruppe als Produkt von Zyklen, d.h., dass \(\sigma = (135)(24)\). Diesen Zyklus schreiben wir nun in eine Transposition, also \(\sigma = (135)(24)=(15)(35)(24)\)
b)
Man spricht von einem Fehlstand von \(\sigma\), wann immer in der Folge der Bildelemente eine größere Zahl vor einer kleineren steht, also \(\sigma (i)>\sigma (j)\) während aber \(i<j\). So weist die Permutation \(\sigma \in S_5\) mit \((1,2,3,4,5) \overset{\sigma} \mapsto (3,4,5,2,1)\) sieben Fehlstände auf, nämlich \((2,1)\), \((3,2)\), \((3,1)\), \((4,2)\), \((4,1)\) , \((5,2)\) und \((5,1)\), die du zu \(F_5(\sigma)\) zusammenfasst.
c)
Aus b) folgerst du das, indem du \(\text{sgn}\, \sigma =\prod \limits_{i<j}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\) berechnest.
