Wohldefiniertheit zeigen

Question

Also ich hab A,B zwei disjunkte, nichtleere Teilmengen eines metrischen Raumes (X,d) und folgende Funktion:

f(x)= \( \frac{dist(x,A)}{dist(x,A)+dist(x,B)} \)

nun soll ich zeigen, dass f wohldefiniert ist, ich weiß aber nicht so ganz, wie das geht

Answer 1

nun soll ich zeigen, dass f wohldefiniert ist,

Warum existiert der Bruch \(\frac{\mathrm{dist}(x, A)}{\mathrm{dist}(x, A)+\mathrm{dist}(x, B)}\) für jedes \(x\in X\)?

Sei zum Beispiel \(x \in X\) mit \(\mathrm{dist}(x, A) = 0\) und \(\mathrm{dist}(x,B) = 0\). Dann ist \(f(x) = \frac{0}{0+0}\) und jetzt hat man ein Problem.

Comments

achso, weil A und B disjunkt und abgeschlossen sind können dist(x,A) und dist(x,B) nicht gleichzeitig gleich Null sein

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Womit dann das Problem gelöst wäre. Von Abgeschlossenheit steht aber nichts in deiner Frage. Die scheint mir aber wichtig zu sein wegen X = ℝ mit euklidischem Abstand, A = (0,1), B = (1,2) und x = 1.

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Oh, dann habe ich vergessen das zu erwähnen aber es steht in der Aufgabe. Vielen Dank!