Hallöchen nochmal,
Hier habe ich noch eine Aufgabe, bei der ich weniger Feedback als Hilfe gebrauchen könnte :).
Aufgabe:
(a) Es seien M = {a, b, c, d}, N = {1, . . . , 5} und L = {1, . . . , 10}. Es seien folgende Abbildungen gegeben:
f : M → N, f(a) := 3, f(b) := 1, f(c) := 5, f(d) := 1,
g : N → L, g(n) := 2n, für n ∈ N.
(i) Zeigen Sie, dass es sich um zwei wohldefinierte Abbildungen handelt.
(ii) Bestimmen Sie das Bild f(M), sowie die Urbilder f−1({1, 5}) und g−1({8, 9, 10}).
Bestimmen Sie f−1(g−1({2})).
(iii) Bestimmen Sie, ob g injektiv oder surjektiv ist (oder beides).
(b) Bestimmen Sie, ob die Abbildung
h : N → N, n →{n/2, falls n gerade; 3n + 1, falls n ungerade,
injektiv oder surjektiv ist (oder beides).
Problem/Ansatz:
Für die i) habe ich die Tupel einfach senkrecht hingeschrieben und geschaut, ob ich jedem Wert von M (oder N im Fall von g) einen Wert von N (oder L im Fall von g) zuordnen kann, was möglich war, also die Wohldefiniertbarkeit beweisen sollte.
Für ii): Einfaches Ablesen, denk ich: f(M)={3,1,5,1}, f−1({1, 5})={b,c}, {d,c}, g−1({8, 9, 10})={4,5}, f−1(g−1({2}))=f−1(1)={b},{d}
Für iii): Hier habe ich raus, dass g nur injektiv ist (vorgehensweise siehe b))
b) Hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich es richtig gelöst habe, aber am Ende kam bei mir raus, dass h nur injektiv ist:
1) Sei h injektiv: (Falls n gerade): Sei n1,n2 ∈ N => (Wenn h injektiv): h(n1)=h(n2) => n1/2=n2/2
=> n1=n2 => injektiv
(Falls n ungerade): Sei n1,n2 ∈ N => (Wenn h injektiv): h(n1)=h(n2) =>
3n1+1 = 3n2+1 => n1 = n2 => injektiv
2) Sei h surjektiv: (Falls n gerade): Sei n1,n2 ∈ N => (Wenn h surjektiv): n1=h(n2)=n2/2 => n2 = 2n1
=> Da für alle n1 in N auch n2 in N => surjektiv
(Falls n ungerade): Sei n1,n2 ∈ N => (Wenn h surjektiv): n1=h(n2)=3n2+1
=> n2=(n1/3)-1 => Da nicht für alle n1 in N auch n2 in N => nicht surjektiv
Ich bedanke mich natürlich wieder für jede Antwort und auch die Hilfestellungen :)
