Identität (Winkelgleicheit bei gleichen Verhältnissen) im Dreieck beweisen. (Elementargeometrie)

Question

Aufgabe:

Für ein Dreieck (A,B,C) mit X∈ (B,C) ist folgende Identität zu zeigen:

$$\angle(B, A, X)=\angle(X, A, C) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d(X, B)}{d(X, C)}=\frac{d(A, B)}{d(A, C)}$$

Ansatz:

Ich hab mir gedacht ich konstruiere erstmal einen Punkt D welcher wie folgt liegt:

g(C,D) ist parallel zu g(X,A)

D ist der Schnittpunkt von g(C,D) mit g(A,B)

Dadurch könnte ich theoretisch diese Identität beweisen:

$$\frac{d(X, B)}{d(X, C)}=\frac{d(A, B)}{d(A, D)}$$

(oder lieg ich damit komplett falsch? - Ich könnt jz die Identität auch nicht direkt beweisen aber Grafisch ergibt sie sinn für mich)

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Gruß,

 

Answer 1

Darfst du den Sin-Satz benutzen ?

Dann wende ihn auf die Dreiecke ABX und AXC an . Du hast dann ja bei A in beiden Dreiecken

Teile des Winkels α also etwa α1 und α2 . Und bei X einmal den Winkel δ und im anderen

Dreieck 180°-δ  . Deren sin sind aber ja gleich .

Comments

heyy danke für deine Antwort :)

Den Sinus Satz darf ich verwenden. Nur leider kann ich mir grad nicht vorstellen was du meinst :/ Könntest du mir das vlt genauer erklären? Ich könnt eine Skizze anfertigen dann tust du dir vlt leichter beim beschreiben

gruß

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Statt alpha und delta habe ich jetzt mal a und d genommen..

Dann gilt doch

d(XB) / d(AB) = sin(a1) / sin(d2) und d(XC) / d(AC) = sin(a2) / sin(d1)

nun ist aber sin(d2)=sin(d1) = K  also

d(XB) / d(AB) = sin(a1) / K und d(XC) / d(AC) = sin(a2) / K

<=>

K = d(AB) *sin(a1) / d(XB) und K = d(AC) * sin(a2) / d(XC)

==>  d(AB) *sin(a1) / d(XB) = d(AC) * sin(a2) / d(XC)

==>  sin(a1) *d(AB) / d(AC) = sin(a2) *  d(XB) / d(XC) .

Damit kann man die Äquivalenz leicht beweisen:

Ist a1=a2 dann sind auch die sin-Werte gleich und es bleibt:

d(AB) / d(AC) =  d(XB) / d(XC) .

Umgekehrt: Sind die Seitenverhältnisse gleich, dann bleibt

              sin(a1) = sin(a2) und da beide Winkel sich um weniger

als 180° unterscheiden, sind sie gleich.

Findet man oft in der Formulierung:

Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite

im Verhältnis der Längen der anliegenden Seiten.

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was mathef meint ist:

stelle den Sinussatz für die Dreiecke \(\triangle ABX\) und \(\triangle AXC\) jeweils mit den oben markierten Winkeln auf. Dann ist $$\frac{\sin \angle BAX}{\sin \angle\colorbox{#88ff88}{AXB}} = \frac{|XB|}{|AB|}, \quad \frac{\sin \angle XAC}{\sin \angle\colorbox{#ffff88}{CXA}} = \frac{|CX|}{|AC|}$$nun ist aber \(\angle BAX =\angle XAC \) (blau) und \(\sin \angle\colorbox{#88ff88}{AXB} = \sin \angle\colorbox{#ffff88}{CXA}\), da letztere Nebenwinkel sind. Folglich sind auch die beiden rechten Seiten der Gleichungen oben identisch.

Answer 2

Hallo,

das kann man elementargeometrisch über den Strahlensatz zeigen:

Zeichne eine zu \(AX\) parallele Gerade durch \(B\), die die Verlängerung von \(AC\) in \(B'\) schneidet. Die blau markierten Winkel sind ja offensichtlich alle gleich groß. Die Winkel des Dreiecks \(\triangle B'BA\) bei \(B'\) und \(B\) (gelb) sind Wechselwinkel von zwei der blauen Winkel und somit ebenfalls gleich groß. Folglich ist das Dreieck \(\triangle B'BA\) gleichschenklig und \(|AB'|=|AB|\).

Aus dem Strahlensatz folgt nun $$\frac{|XB|}{|XC|} = \frac{|AB'|}{|AC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$Gruß Werner