Beweisen Sie den Durchschnitt

Question

Bestimmen Sie die nachstehende Menge und beweisen Sie Ihr Ergebnis.

\( \bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} \) mit \( X_{n}=\left\{0, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \dots\right\} \)

Kann mir da jemand helfen?

 Der Durchschnitt müsste {0} sein.

Wie soll man das beweisen?

Answer 1

Gäbe es außer 0 noch ein Element im Durchschnitt,

dann müsste es ein k∈ℕ  geben mit  1/k ∈ Xn für alle n∈ℕ .

Das geht nicht, da  1/k ∉ Xn  z.B. für n=k+1 .