Aloha :)
Vorige Variante:$$\left.x'=\frac{1}{1+t}\cdot(x+1)\quad\right|\;:(x+1)\;\;;\;\;x'=dx/dt$$$$\left.\frac{dx/dt}{x+1}=\frac{1}{1+t}\quad\right|\;\cdot dt$$$$\left.\frac{dx}{x+1}=\frac{dt}{1+t}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln|x+1|=\ln|1+t|+c_1\quad\right|\;e^{\cdots}\;;\;c_1=\text{const}$$$$\left.e^{\ln|x+1|}=e^{\ln|1+t|+c_1}\quad\right.$$$$\left.|x+1|=|1+t|\cdot c_2\quad\right|\;c_2:=e^{c_1}=\text{const}$$$$x=c\cdot(t+1)-1\quad;\quad c=\text{const}$$
Neue Variante:
Wie ich durch mllmaas Anmerkung mitbekommen habe, lautet die DGL wohl so:$$x'=\frac{1}{1+t}x+1$$Das ist eine inhomogene DGL. Zur Lösung lassen wir die \(1\) zunächst außen vor und lösen die homogene DGL. Das geht ähnlich wie bei der vorigen Interpretation:$$\left.x'_0=\frac{1}{1+t}x_0\quad\right|\;:x_0$$$$\left.\frac{x'_0}{x}=\frac{1}{1+t}\quad\right|\;\text{integrieren über } dt$$$$\left.\ln(|x_0|)=\ln(|1+t|)+c_1\quad\right|\;e^\cdots\;;\;c_1=\text{const}$$$$\left.e^{\ln(|x_0|)}=e^{\ln(|1+t|)+c_1}=e^{\ln(|1+t|)}\cdot e^{c_1}\quad\right|\;c_2:=e^{c_1}=\text{const}$$$$x_0(t)=c_2\cdot(t+1)$$Jetzt müssen wir noch den Term "+1" in der inhomogenen DGL berücksichtigen. Dazu nehmen wir \(c_2\) nicht mehr als Konstante an, sondern als Funktion \(c_2=c_2(t)\). Dieses Verfahren heißt "Variation der Konstanten". Wir setzen also für die Lösung \(x(t)\) folgenden Term an:$$x(t)=c_2(t)\cdot(t+1)$$Den setzen wir in die DGL ein:$$\left.x'=\frac{1}{1+t}\,x+1\quad\right|\;x(t)=c_2(t)\cdot(t+1)\text{ einsetzen}$$$$\left.\left(c_2(t)\cdot(t+1)\right)'=\frac{1}{t+1}\,c_2(t)\cdot(t+1)+1\quad\right|\;\text{Produktregel links}$$$$\left.c'_2(t)\cdot(t+1)+c_2(t)\cdot1=c_2(t)+1\quad\right|\;-c_2(t)$$$$\left.c'_2(t)\cdot(t+1)=1\quad\right|\;:(t+1)$$$$\left.c'_2(t)=\frac{1}{t+1}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.c_2(t)=\ln|t+1|+c_3\quad\right|\;c_3=\text{const}$$Damit haben wir die Lösung gefunden:$$x(t)=\left(\ln(t+1)+c_3\right)\cdot(t+1)$$$$x(t)=(t+1)\ln(t+1)+c\cdot(t+1)\quad;\quad c=\text{const}$$
