Separierbare Differentialgleichung y' * sinx = y * cosx , y (pi/6)=1

Question

ich habe folgende Aufgabe zu lösen durch Trennung der Variablen.

y' × sinx = y × cosx ,           y (pi/6)=1

Comments

Schau mal unter

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27(x)*sin(x)%3Dy(x)*cos(x),y(pi%2F6)%3D1

Answer 1

Hi,

y'*sin(x) = y*cos(x)   |:y :sin(x)

y'/y = cos(x)/sin(x)   

1/y dy = cos(x)/sin(x) dx    |Integrieren

ln(y) = ln(sin(x)) + c           | e-Funktion anwenden

y = e^{ln(sin(x)) + c} = e^ln(sin(x)) * e^c = sin(x) * d

(Dabei habe ich e^c =  d umbenannt)

AWP: 1 = sin(π/6) * d -> d = 1/sin(pi/6) = 2

Grüße

Answer 2

y' • sinx = y • cos(x) 

dy/dx = y • cos(x) /sin(x)

Beide Seiten integrieren:

∫ 1/y • dy = ∫  cos(x)/sin(x)  dx    [ y≠0, y=0 vgl. unten ]

ln(|y|) = ln(sin(x)) + c₁    |  e^...     [ c₁ ∈ ℝ ]  

|y| = e^{ln(sin(x) + c1} = e^ln(sin(x)) • e^c1  

y = ± e^c1 • sin(x)  = c • sin(x)   mit c∈ℝ  ist die allgemeine Lösung 

weil auch y=0 offensichtlich eine Lösung der DGL ist. Auch die Nullstellen von sin(x) machen in der DGL offensichtlich keine Probleme.

y(π/6) = c • sin(π/6) = 1  →  c = 1/ sin(π/6) = 2

→  Spezielle Lösung:   y = 2 • sin(x) 

Gruß Wolfgang

Answer 3

y' × sinx = y × cosx ,           y (pi/6)=1