Aufgabe mit Konvergenz und Divergenz von Reihen

Question

Gegeben habe ich die folgenden Folgen a_n=b_n= \( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \) und c_n= \( \sum\limits_{k=0}^{n}{{an-k}}*bk \) (Bemerkung : das an-k und k sind natürlich Indizes der Folgen, aber irgendwie klappt bei mir die korrekte Darstellung davon nie. Weiß jemand zufällig wieso ? xD )

und noch gegeben die Reihen : S₁=\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn} \) sowies S₂= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn} \) (gleiches Problem mit den Indizes wie oben, aber das n soll auch hier klein sein, also als Index wie anfang bei den Folgen)

Nun soll ich nachweisen, dass S1 konvergiert und zeigen, dass S2 divergiert, aber das ist leichter gesagt als getan haha Kann mir wer hierbei helfen und zeigen, wie man sowas sauber und gut löst ? Ich denk mal man benötigt die Konvergenz und Divergenzkriterien (Leibniz, majorante, minorante etc) , aber ich werd aus diesen Kriterien auch nach Stunden nicht schlau. Deswegen wäre es sehr lieb, wenn es mir jemand zeigen könnte, wie die Aufgabe funktioniert

Comments

S₁ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Zur Divergenz der Reihe S₂ siehe hier: https://www.mathelounge.de/72822/zeigen-dass-cauchy-produkt-folgender-reihe-selbst-divergiert?show=73093#a73093.

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Ja hab s inzwischen auch gesehen, dass man bei S1 Leibniz anwenden kann, aber dennoch bin ich mir nicht sicher,ob ich es sauber gemacht habe. Für das Kriterium muss ich doch nur zeigen dass c_n= \( \frac{1}{\sqrt{n +1}} \) eine Nullfolge ist und alle Folgeglieder größer als 0 sind oder?

Zum zeigen von ersteres versteh ich aber nicht, wie ich es umformen sollem, denn man sieht doch direkt, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Aber ich hatte c_n zu folgendem umgeschrieben :

\( \frac{\sqrt{n +1}}{n+1} \)  = \( \frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n}}{1 +\frac{1}{n}} \)  und davon der limes ist 0, aber ist das so überhaupt gut und sinnvoll aufgeschrieben oder wie hättest du das gemacht ? 

Und zu zweiterem muss ich nichts sagen, weil es ist trivial. Muss ich aber noch etwas bezüglich Monotonie sagen oder passt das so wie jetzt dargelegt?

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Das Kriterium besagt: Ist \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) eine monotone reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe \(\displaystyle s=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx_n\). Dass \(\displaystyle x_n=\frac1{\sqrt{n+1}}\)  eine monoton fallende Nullfolge bildet, ist eigentlich klar und hat man vermutlich schon früher mal nachweisen dürfen. Hauptsächlich besteht die Aufgabe wohl darin, den zweiten Teil zu zeigen, also dass \(S_2\) divergent ist.