Divergenz, Konvergenz oder absolute Konvergenz bei Reihen nachweisen

Question

Aufgabe:

$$\sum \limits_{n=3}^{\infty}{a}_{n}\text{ mit }{a}_{n}\text{ := } (\frac{3n^{5} - 17n^{3}}{5n^{5} + n^{2}})^{n}$$

Problem/Ansatz:

Die Summe lässt sich durch Kürzungen erst einmal vereinfachen:
$$\sum \limits_{n=3}^{\infty} (\frac{3n^{3} - 17n}{5n^{3} + 1})^{n}$$

Da ich das n im Exponenten habe, gehe ich davon aus, dass mich das Wurzelkriterium hier weiterbringen würde. Dafür dürfte meine Summe jedoch nicht bei 3 beginnen, sondern bei 1, also Indexverschiebung:
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{3(n+2)^{3} - 17(n+2)}{5(n+2)^{3} + 1})^{n+2} \text{ = ... = } \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{3n^{3} + 18n^{2} + 19n - 10}{5n^{3} +30n^{2} + 60n + 41})^{n+2} $$
Ab hier weiß ich nicht mehr, wie ich weitermachen kann. Das n+2 stört im Exponenten.

Comments

Tipp: Für n>2 gilt \(\displaystyle0<\frac{3n^3-17n}{5n^3+1}=\frac35-\frac{85n+3}{25n^3+5}<\frac35\).

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Kannst du den Tipp noch einmal näher erläutern? Ich verstehe a) nicht wie du darauf kommst und weiß b) nicht, ob das als Beweis durchgehen kann

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a)  Berechne \(\displaystyle\frac35-\frac{3n^3-17n}{5n^3+1}\) oder Polynomdivision.
b)  Damit hat man eine geometrische Reihe als konvergente Majorante.

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$$ \text{ Woher nimmst du die } \frac{3}{5} \text{ und wo ist das die geometrische Reihe? } $$

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Es ist \(\displaystyle\sum_{n=3}^\infty \vert a_n\vert<\sum_{n=3}^\infty\left(\frac35\right)^n\).

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Endlich viele Summanden stören bei der Betrachtung der Konvergenz nicht. Es ist egal was deine Reihe bis zu einem beliebigen n aus N macht, es ist nur wichtig wie sie sich im Unendlichen verhält. Darum betrachtest du ja beim  Wurzelkriterium auch den Grenzwert für n gg unendlich

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Das endlich viele Summanden egal sind erstehe ich. Aber wenn das Wurzelkriterium laut Professor nur für eine bestimmte Summe definiert ist, dann muss ich mich natürlich auch dran halten

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Beim Wurzelkriterium geht es darum, ob eine Folge hinreichend schnell gegen Null konvergiert damit die Summe konvergiert. Wo sie dabei anfängt ist - wie oben gesagt - egal.

Aber wenn du es möchtest, überlege dir ob der Ausdruck \( (\sum_{n = 1}^{\infty} a_n) - a_1 - a_2 \) konvergiert.

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Die Summe über an konvergiert. Lasse ich die beiden Teile, die ich dann abziehe einfach unbetrachtet?

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Klar, wenn die Summe gegen a konvergiert, dann konvergiert das Ganze

gegen a - a₁ - a₂ .

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@mathef Bei deiner Antwort bleiben a1 und a2 aber nicht unbetrachtet. Wenn ich dich richtig verstehe, bilde ich den Grenzwert und ziehe davon die beiden ersten Folgenglieder ab. Ist das so gemeint? Dann würde ich mich über eine Erklärung freuen, weil das logisch in meinem Kopf keinen Sinn ergibt

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OK. "unbetrachtet" sollte sich hier auf die Frage nach der Konvergenz beziehen.

Also :  Ob es konvergiert oder nicht, das hängt von den ersten beiden

nicht ab. Der Wert des Grenzwertes aber schon.

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Der Grenzwert interessiert mich nicht. Nur ob die Reihe divergiert oder (absolut) konvergiert. Mehr gibt das Wurzelkriterium ja auch nicht her. Also kann ich mit dem Wurzelkriterium die Reihe von 1 bis unendlich betrachten und die Folgenglieder a1 und a2 dafür unbetrachtet lassen?

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Schau mal hier:

https://mathepedia.de/Konvergenzkriterien.html

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Okay, jetzt habe ich es wohl komplett verstanden. Danke an euch alle für die Hilfe!