Aloha :)
$$S_1=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^k}{e^k}=\frac{1^1}{e^1}+\frac{2^2}{e^2}+\sum\limits_{k=3}^\infty\left(\frac{k}{e}\right)^k>\sum\limits_{k=3}^\infty\left(\frac{k}{e}\right)^k>\sum\limits_{k=3}^\infty1\to\infty$$Weil die Summe ab \(k=3\) läuft, ist jeder Summand \(\left(\frac{k}{e}\right)^k>1^k=1\), daher divergiert \(S_1\).
$$S_2=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{4}+\sqrt{k^2+k}-k\right)^k$$Wir untersuchen die Summanden \(a_k\) mit dem Wurzelkriterium:
$$\sqrt[k]{\left|\left(\frac{1}{4}+\sqrt{k^2+k}-k\right)^k\right|}=\frac{1}{4}+\sqrt{k^2+k}-k$$$$\quad=\frac{1}{4}+\frac{(\sqrt{k^2+k}-k)(\sqrt{k^2+k}+k)}{\sqrt{k^2+k}+k}=\frac{1}{4}+\frac{(k^2+k)-k^2}{\sqrt{k^2+k}+k}$$$$\quad=\frac{1}{4}+\frac{k}{\sqrt{k^2+k}+k}=\frac{1}{4}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{k}}+1}\to\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}<1$$Das Wurzelkriterium ist erfüllt, also konvergiert die Summe \(S_2\).
$$S_3=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{4k+4}{k^2\sqrt{k+2}}<\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{4k+4k}{k^2\sqrt{k+2}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{8}{k\sqrt{k+2}}<\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{8}{k\sqrt{k}}$$$$\quad=8\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{3/2}}<\infty$$Die allgemeine harmonische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n^\alpha}\) divergiert für \(\alpha\le1\) und konvergiert für \(\alpha>1\). Daher konvergiert \(S_3\).
