Periodische Zahl mit Hilfe von Reihen in einen gekürzten Bruch umrechnen

Question

ich habe das Problem, dass ich nicht ganz verstehe wie ich mit Hilfe von Reihen aus einer Periodischen Zahl einen Bruch bekomme. Bei der Periodischen Zahl handelt es sich um 12,3¯456. Vielen Dank schoinmal im Voraus.

Answer 1

12,3¯456 = (123456-123)/9990 = 41111/3330

Comments

Ok danke und woher kommen die 9990?

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999 für drei Periodische Nachkommastellen.

0 für eine nichtperiodische Nachkommastelle.

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Ich verstehe immernoch nicht ganz wie ich anhand von Reihen auf diese 9990 komme.

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Hier eine Herleitung

12.3 = 123/10

Das sollte soweit klar sein

0.0p456 = x
0.p456 = 10x
456.p456 = 10000x

III - II

456 = 10000x - 10x
456 = 9990x
x = 456/9990

Das sollte auch soweit klar sein. Wenn nicht nochmal Zeile für Zeile durchgehen.

12.3p456 = 123/10 + 456/9990
12.3p456 = 123·999/(10·999) + 456/9990
12.3p456 = 123·(1000 - 1)/9990 + 456/9990
12.3p456 = (123000 - 123)/9990 + 456/9990
12.3p456 = (123456 - 123)/9990

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Ich verstehe immernoch nicht ganz wie ich anhand von Reihen auf diese 9990 komme.

was ist Dir an der Antwort von MontyPython nicht klar?

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Ich verstehe nur nicht wo da eine Reihe ist. Denn ich soll ja anhand einer Reihe die periodische Zahl in Bruch umwandeln.

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Ich verstehe nur nicht wo da eine Reihe ist.

Du kannst eine periodische Dezimalzahl auch als geometrische Reihe schreiben$$12,3\overline{456} = 12,3 + \frac 1{10^4} \left( \frac {456}{1000^0} + \frac {456}{1000^1} + \frac {456}{1000^2} + \dots\right)$$Das führt dann über die Summenformel $$\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \frac{a_0}{1-q}, \quad a_0=\frac{456}{10^4}, \space q= \frac 1{1000}$$zu dem Bruch

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Als Reihe ist das doch sehr einfach darzustellen:

12.3p456 = 12.3 + ∑ (k = 1 bis ∞) (456/(10·1000^k))

Answer 2

10000x = 123456,456456456...
   10x =    123,456456456...
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 9990x = 123456-123 = 123333

$$  x=\frac{123333}{9990}=\frac{41111}{3330} $$

Comments

$$x=\frac{123333}{9990}=\frac{4111\colorbox{#ffff00}1}{3330} = 12,3 \overline{456}$$

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Der gewünschte Bezug zu Reihen wurde immer noch nicht klar hergestellt.

Wenn wir 12,3 mal beiseite lassen, haben wir

0,0456456456...

=0,0001 * 456(1+10^-3+10^-6+10^-9 +...),

und in der Klammer steckt die Summenformel einer geometrischen Reihe.

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@Werner: Danke, ich habe die fehlende 1 ergänzt.   :-)

@abakus: Ich hätte die Frage genauer lesen sollen. Danke, dass du es ergänzt hast.  :-)