Aloha :)
Teil 1: G ist Untervektorraum
1) \(G\) ist nicht leer, denn:$$g_0(x):=0\quad\Rightarrow\quad g_0(-x)=0=g_0(x)\quad\Rightarrow\quad g_0\in G$$
2) Für \(g_1,g_2\in G\) ist auch \(g_1+g_2\in G\), denn:$$(g_1+g_2)(-x)=g_1(-x)+g_2(-x)=g_1(x)+g_2(x)=(g_1+g_2)(x)$$
3) Für \(\lambda\in\mathbb{R}\) and \(g\in G\) ist auch \(\lambda\cdot g\in G\), denn:$$(\lambda\cdot g)(-x)=\lambda\cdot g(-x)=\lambda\cdot g(x)=(\lambda\cdot g)(x)$$
Teil 2: U ist Untervektorraum
1) \(U\) ist nicht leer, denn:$$u_0(x):=0\quad\Rightarrow\quad u_0(-x)=0=-0=-u_0(x)\quad\Rightarrow\quad u_0\in G$$
2) Für \(u_1,u_2\in U\) ist auch \(u_1+u_2\in U\), denn:$$(u_1+u_2)(-x)=u_1(-x)+u_2(-x)=-u_1(x)-u_2(x)=-(u_1+u_2)(x)$$
3) Für \(\lambda\in\mathbb{R}\) and \(u\in U\) ist auch \(\lambda\cdot u\in U\), denn:$$(\lambda\cdot u)(-x)=\lambda\cdot u(-x)=-\lambda\cdot u(x)=-(\lambda\cdot u)(x)$$
Teil 3: G ist direkte Summe von U und V
Wir zeigen zunächst, dass \(G+U=V_\mathbb{R}\)
Dazu definieren wir für eine Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\):$$g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\quad;\quad u(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$Dafür gilt:$$g(x)+u(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x)$$$$g(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$$$$u(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-u(x)$$Für \(G\oplus U=V_{\mathbb{R}}\) darf die Schnittmenge nur aus dem Nullelement bestehen:
$$f(x)\in G\;\land\;f(x)\in U\quad\Rightarrow$$$$f(-x)=f(x)\;\land\;f(-x)=-f(x)\quad\Rightarrow$$$$2f(x)=f(x)+f(x)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0\quad\Rightarrow$$$$f(x)=0$$Dass die Nullfunktion in der Schnittmenge liegt wurde bereits in Teil 1 und Teil 2 gezeigt.
