R-Vektorraum V der Nullfolgen in R

Question

Gegeben sei ein n-dimensionaler R-Vektorraum V und eine Kette linearer Unterräume U0 ⊆ U1 ⊆ · · · ⊆ Un+1 ⊆ V .

Zu zeigen ist, dass ein i ∈ {0, . . . , n} existiert, so dass Ui = Ui+1 gilt.

Außerdem soll man den R-Vektorraum V der Nullfolgen in R betrachten und zeigen, dass man durch
Uj:= {(ai)i∈N | lim i→∞, ai = 0 und a0 = · · · = aj = 0} eine unendliche Kette von linearen Unterrräumen mit Uj+1 istTeilmenge von Uj erhält und dass dimR Uj = ∞ ist.

Außerdem soll man für jedes j ∈ N einen Raum Wj finden , so dass Wj ⊕Uj = V gilt.

Ich schwimme ein bisschen.

Answer 1

zum 1. Teil:

Wenn U ein k-dim. Unterraum vom Vektorraum W ist,

dann gibt es eine Basis (v1,...,vn) von U . Diese ist dann ein lin.

unabhängiges System in W. Wenn U≠W gibt es ein w∈W, das

nicht in U liegt. Dann ist (v1,...,vn,w ) immer noch lin. unabh.

in W und lässt sich (wenn es noch keine ist)

zu einer Basis von W ergänzen. Also dim(W) > n bzw.

dim(W) ≥ n+1.

Wenn du diese Überlegung auf die Kette

U0 ⊆ U1 ⊆ · · · ⊆ Un+1 ⊆ V

anwendest, und dort überall zu ⊆ noch ≠ hinzukäme,

hättest du für U_n+1 mindestens die Dimension n+1 im

Widerspruch zu dim(V)=n. Ein Unterraum kann keine

größere Dim haben, als der Raum selbst.