f(x)=x2*ln(x)*e^-x ableiten

Question

f(x)=x^2*ln(x)*e^-x

kann mir jemand helfen, diese Funktion abzuleiten?
was mir Schwierigkeiten verursacht, ist, dass ich 3 Terme habe, sonst würde ich die Produktregel benutzen (wenn ich z.B. nur x^2 * ln(x) hätte)

x^2 = 2x abgeleitet und ln(x) =1/x, e^-x bleibt e^-x, die einzelnen Ableitungen verursachen mir keine Probleme

Comments

Hallo,

verwende die "erweiterte" Produktregel:

f'(x) = u'vw + uv'w + uvw'

und kontrolliere dein Ergebnis z.B. hier.

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zum Überprüfen:

instar avi pulchrae,

Answer 1

f(x)=x²*ln(x)*e^-x
kann mir jemand helfen, diese Funktion abzuleiten?

Das ist ein Produkt. Verwende also die Produktregel.

was mir Schwierigkeiten verursacht, ist, dass ich 3 Terme habe

Assoziativgesetz.

        f(x) = x²*ln(x)*e^-x = (x²*ln(x)) * e^-x.

Jetzt hast du nur noch zwei Terme.

Zugegeben, der eine Faktor davon ist wiederum ein Produkt. Aber das kannst du ja mit der Produktregel ableiten.

Comments

danke für den Ansatz :) ich verstehe wie ich vorzugehen habe

Answer 2

Aloha :)

Hier hilft uns die Produktregel:$$f(x)=\underbrace{\red{x^2}}_{=u}\cdot\underbrace{\green{\ln(x)}}_{=v}\cdot\underbrace{\blue{e^{-x}}}_{=w}$$$$f'(x)=\underbrace{\red{2x}}_{=u'}\cdot\underbrace{\green{\ln(x)}}_{=v}\cdot\underbrace{\blue{e^{-x}}}_{=w}+\underbrace{\red{x^2}}_{=u}\cdot\underbrace{\green{\frac1x}}_{=v'}\cdot\underbrace{\blue{e^{-x}}}_{=w}+\underbrace{\red{x^2}}_{=u}\cdot\underbrace{\green{\ln(x)}}_{=v}\cdot\underbrace{\blue{(-e^{-x})}}_{=w'}$$$$\phantom{f'(x)}=2x\cdot\ln(x)\cdot e^{-x}+x\cdot e^{-x}-x^2\cdot\ln(x)\cdot e^{-x}$$$$\phantom{f'(x)}=x\ln(x)e^{-x}(2-x)+xe^{-x}$$

Answer 3

Herleitung der Produktregel für 3 Faktoren:

f(x) = u(x) * v(x) * w(x)

f(x) = u(x) * (v(x) * w(x))

f'(x) = u'(x) * (v(x) * w(x)) + u(x) * (v(x) * w(x))'

f'(x) = u'(x) * (v(x) * w(x)) + u(x) * (v'(x) * w(x) + v(x) * w'(x))

f'(x) = u'(x) * v(x) * w(x) + u(x) * v'(x) * w(x) + u(x) * v(x) * w'(x)