Aloha :)
Du kannst die Formel zuerst so umstellen, dass rechts eine Null steht:$$\left.x^2+8=10x-x^3\quad\right|\;+x^3$$$$\left.x^3+x^2+8=10x\quad\right|\;-10x$$$$\left.x^3+x^2-10x+8=0\quad\right.$$Es gibt einen wichtigen Trick, um die Nullstellen von Polynomen zu erraten:
Alle ganzzahligen Nullstellen müssten Teiler der "Zahl ohne \(x\)" sein.
Die "Zahl ohne \(x\)" ist die \(8\). Alle Teiler von \(8\) sind: \(\pm1\;,\;\pm2\;,\;\pm4\;\,\;\pm8\)
Diese Werte kannst du nun der Reihe nach für \(x\) durchprobieren. Und siehe da, wir finden unter diesen Kandidaten bereits alle 3 möglichen Nullstellen:$$x=-4\quad;\quad x=1\quad;\quad x=2$$Da du aber nur maximal eine Nullstelle durch Probieren bestimmen sollst, musst du wohl eine Polynomdivision durchführen. Wir nehmen als "geratene Nullstelle" die bei \(x_1=-4\). Also können wir das Polynom durch \((x+4)\) dividieren:$$(x^3+x^2-10x+8):(x+4)=x^2-3x+2$$Die so erhaltene quadratische Gleichung können wir mit der pq-Formel lösen:
$$x_{2,3}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$$Damit haben wir zusammen mit der "geratenen" Lösung \(x_1=-4\) nun auch berechnet, was wir oben bereits wussten:$$x_1=-4\quad;\quad x_2=1\quad;\quad x_3=2$$
