Aloha :)
Läufer-Aufgabe
Die Läufer haben einen Tempo-Unterschied von \(3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\). Da beide zur gleichen Zeit gestartet sind, findet die Überrundung nach \(400\,\mathrm m\) statt. Die dafür benötigte Zeit \(t\) ist:$$t=\frac{400\,\mathrm m}{3\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{400\,\mathrm m}{3\,\frac{1000\,\mathrm{m}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{400\,\mathrm m}{3\cdot1000\,\mathrm{m}}\cdot60\,\mathrm {min}=8\,\mathrm {min}$$Der schnellere Läufer legt in dieser Zeit die folgenden Strecke zurück:$$s=18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot8\,\mathrm {min}=18\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot8\,\mathrm {min}=2,4\,\mathrm{km}$$
Schwimmer-Aufgabe
Die Schwimmerin ist \(t_1=10\,\mathrm{min}\) lang mit \(2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) unterwegs und hat danach den Vorsprung:$$s_1=2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot10\,\mathrm {min}=2\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot10\,\mathrm {min}=\frac{20}{60}\,\mathrm{km}=\frac{1}{3}\,\mathrm{km}\approx333,33\,\mathrm{m}$$Jetzt rudert der Mann mit \(6\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) los, ist also \(4\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) schneller als seine Frau. Um den Vorsprung aufzuholen benötigt der Mann die Zeit:$$t_2=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{\frac{1}{3}\,\mathrm{km}}{4\,\mathrm{km}}\cdot60\,\mathrm {min}=5\,\mathrm {min}$$Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Entfernung der beiden vom Start-Ufer:$$s_2=6\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot5\,\mathrm {min}=6\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot5\,\mathrm {min}=\frac{5}{10}\,\mathrm{km}=0,5\,\mathrm{km}=500\,\mathrm{m}$$Jetzt rudert der Mann weiter zum anderen Ufer, das noch \(1,5\,\mathrm{km}\) entfernt ist. Da er für die ersten \(500\,\mathrm m\) genau \(5\,\mathrm{min}\) gebraucht hat, wird der für die fehlenden \(1,5\,\mathrm{km}\) noch \(t_3=15\,\mathrm{min}\) brauchen. Dann macht er \(t_{\text{Pause}}=10\,\mathrm{min}\) Pause, bevor er wieder seiner Frau entgegen rudert. Zu diesem Zeitpunkt ist die Frau insgesamt schon$$t_4=t_1+t_2+t_3+t_{\text{Pause}}=10\,\mathrm{min}+5\,\mathrm{min}+15\,\mathrm{min}+10\,\mathrm{min}=40\,\mathrm{min}$$mit \(2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\) unterwegs, hat also$$s_4=2\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\cdot40\,\mathrm {min}=2\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm{min}}\cdot40\,\mathrm {min}=\frac{80}{60}\,\mathrm{km}=\frac{4}{3}\,\mathrm{km}\approx1333,33\,\mathrm{m}$$zurückgelegt. Die Entfernung zum Ufer, wo ihr Mann gerade wieder ins Boot steigt, beträgt daher \(\frac{2}{3}\,\mathrm{km}\). Jetzt rudert der Mann auf seine Frau zu, relativ zueinander bewegen sich beide also mit \(8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\). Bis sich beide wieder treffen vergehen also:$$t_5=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}}=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\frac{\mathrm{km}}{60\,\mathrm {min}}}=\frac{\frac{2}{3}\,\mathrm{km}}{8\,\mathrm{km}}\cdot60\,\mathrm {min}=5\,\mathrm {min}$$Wie oben schon berechnet, legt der Mann in \(5\,\mathrm{min}\) genau \(500\,\mathrm m\) zurück. Daher befinden sich beide nun \(s_5=1,5\,\mathrm{km}\) vom Start-Ufer entfernt.
