Hallo,
das geht hier etwas einfacher. Benutze einfache Rechenregeln für Ungleichungen, nämlich:
$$n \geq 1 \Rightarrow 1 \geq \frac{1}{n}$$
Analog für m. Damit folgt die Abschätzung:\( \frac{1}{n}+\frac{2}{m} \leq 1+2=3 \)
Also ist 3 ein obere Schranke. In diesem Fall ist 3 auch ein Element von A, nämlich für \(n=m=1\). Also ist es kleinste obere Schranke. (Du kannst bei (ii) einfach \(x=3\) nehmen.)
Beim Infimum ist es etwas anders. 0 ist offenbar eine untere Schranke. Sei nun ein \(\epsilon>0\) gegeben, dann wählen wir ein \(n>\frac{3}{\epsilon}\)- Das geht, weil die natürlichen Zahlen beliebig große Zahlen enthalten. Dann gilt \(\frac{\epsilon}{3} > \frac{1}{n}\). Und analog für m.
Dann gilt für diese n und m:
$$\frac{1}{n}+\frac{2}{m}<\frac{\epsilon}{3}+\frac{2\epsilon}{3} = \epsilon$$
Damit ist 0 Infimum von A.
Gruß