Supremum unf Infimumbeweis

Question

Hallo Leute,

ich soll Infimum und Supremum bestimmen und dann auch beweisen.

Die Aufgabe lautet so:  A:= { \( \frac{1}{m} \) +\( \frac{2}{n} \) I m,n ∈ ℕ }.

ich behaupte, dass sup (A)=3 und ins (A)= 0 ist. Ich muss das jetzt aber beweisen und wenn ich mir den Supemums- und Infimumssatz mir angucke weiß ich ja schon wie ich voran gehen soll :

zz : sup(A) =3 ⇔(i) x≤ 3 ∀ x ∈A

                           (ii) ∀ε > ∃ x ∈A: x >3-ε

zu (i) : x= \( \frac{1}{m} \) + \( \frac{2}{n} \) ≤ 3 ... umformen bis eine wahre Aussage rauskommt. Soo wir bin ich stehen geblieben und kommen nicht weiter bzw. ich finde keine wahre Aussage wo ich sagen kann okay das ist bewiesen.könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen und auch bei der (ii) komme ich leider durcheinander.

Brauche Hilfe

Answer 1

Hallo,

das geht hier etwas einfacher. Benutze einfache Rechenregeln für Ungleichungen, nämlich:

$$n \geq 1 \Rightarrow 1 \geq \frac{1}{n}$$

Analog für m. Damit folgt die Abschätzung:\( \frac{1}{n}+\frac{2}{m} \leq 1+2=3 \)

Also ist 3 ein obere Schranke. In diesem Fall ist 3 auch ein Element von A, nämlich für \(n=m=1\). Also ist es kleinste obere Schranke. (Du kannst bei (ii) einfach \(x=3\) nehmen.)

Beim Infimum ist es etwas anders. 0 ist offenbar eine untere Schranke. Sei nun ein \(\epsilon>0\) gegeben, dann wählen wir ein \(n>\frac{3}{\epsilon}\)- Das geht, weil die natürlichen Zahlen beliebig große Zahlen enthalten. Dann gilt \(\frac{\epsilon}{3} > \frac{1}{n}\). Und analog für m.

Dann gilt für diese n und m:

$$\frac{1}{n}+\frac{2}{m}<\frac{\epsilon}{3}+\frac{2\epsilon}{3} = \epsilon$$

Damit ist 0 Infimum von A.

Gruß

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Vieeelen Dank !