Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( i, j \in\{1,2,3\}, i \neq j \), sind die Elementarmatrizen \( E_{i j}^{(3)}(\alpha) \) definiert durch
\( E_{i j}^{(3)}(\alpha)=\left(a_{k l}\right)_{1 \leq k, l \leq 3} \text { mit } a_{k l}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & k=l \\ \alpha, & (k, l)=(i, j) \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
Für \( \lambda \in \mathbb{R} \) bezeichne \( D(\lambda) \) die Diagonalmatrix \( D(\lambda):=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right) . \) Ferner sei
\( A:=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) . \)
Bestimmen Sie ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) und Elementarmatrizen \( E_{\nu} \), so dass \( A=\left(\prod \limits_{\nu=1}^{k} E_{\nu}\right) D(\lambda) \) und berechnen \( \operatorname{Sie} A^{-1} \).