Bestimmen Sie ein λ in ℝ und Elementarmatrizen

Question

Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) und \( i, j \in\{1,2,3\}, i \neq j \), sind die Elementarmatrizen \( E_{i j}^{(3)}(\alpha) \) definiert durch

\( E_{i j}^{(3)}(\alpha)=\left(a_{k l}\right)_{1 \leq k, l \leq 3} \text { mit } a_{k l}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & k=l \\ \alpha, & (k, l)=(i, j) \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Für \( \lambda \in \mathbb{R} \) bezeichne \( D(\lambda) \) die Diagonalmatrix \( D(\lambda):=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right) . \) Ferner sei

\( A:=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) . \)

Bestimmen Sie ein \( \lambda \in \mathbb{R} \) und Elementarmatrizen \( E_{\nu} \), so dass \( A=\left(\prod \limits_{\nu=1}^{k} E_{\nu}\right) D(\lambda) \) und berechnen \( \operatorname{Sie} A^{-1} \).

Answer 1

Bin nicht ganz sicher, was es mit der Diagonalmatrix D(λ) auf sich hat. Schlage folgende Lösung vor.$$E_{21}:=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\;E_{31}:=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix},\;E_{32}:=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix},$$$$D:=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix},\;L:=E_{32}\cdot E_{31}\cdot E_{21}.$$$$L\cdot A=D\Leftrightarrow A^{-1}\cdot L^{-1}=D^{-1}\Leftrightarrow A^{-1}=D^{-1}\cdot L.$$

Comments

Wie bist du Auf E21 und so gekommen was hast du genau gemacht ? könntest du das vielleicht erklären