Berechnung des Grenzwertes

Question

Wie berechnet man den Grenzwert, Ist die Reihe konvergent?

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3^{(k-1)}}{5^{(k-2)}} \)

Danke schonmal für die Antwort.

Answer 1

Aloha :)$$S:=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k-1}}{5^{k-2}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k}\cdot3^{-1}}{5^{k}\cdot5^{-2}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^{k}\cdot5^2}{5^{k}\cdot3^1}=\frac{25}{3}\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{3}{5}\right)^k$$Man erkennt die Form einer geometrischen Reihe mit \(q=\frac{3}{5}\):$$\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad;\quad|q|<1$$Daher konvergiert die Reihe:$$S=\frac{25}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{3}{5}}=\frac{25}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{25}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{125}{6}$$

Answer 2

Die geometrische Reihe für \( \dfrac{3^{(k-1)}}{5^{(k-2)}} =5 \left(\dfrac{3}{5}\right)^{k-1} \) liefert die Antwort.

Comments

Aber lustig, wie du deine Fragen in falscher Reihenfolge stellst.