Einwohnerzahl berechnen Exponentialfunktionen

Question

Die Einwohnerzahl einer Stadt betrug 1920 etwa 25'000 Personen, um 1990 etwa 116'000 Personen. Berechne die Einwohnerzahl im Jahr 2020

a) unter Annahme linearen Wachstum

b) unter Annahme exponentielles Wachstum

c) Untersuche unter jeder der beiden Annahmen, in welchem Jahr die Einwohnerzahl die Marke von 200'000 erstmals übertreffen wird.

Wäre froh um eure Wege

Answer 1

Die Einwohnerzahl einer Stadt betrug 1920 etwa 25'000 Personen, um 1990 etwa 116'000 Personen. Berechne die Einwohnerzahl im Jahr 2020

a) und ac) unter Annahme linearen Wachstum

m = (116000 - 25000)/(1990 - 1920) = 1300

f(x) = 1300·(x - 1920) + 25000

f(2020) = 155000

f(x) = 1300·(x - 1920) + 25000 = 200000 --> x = 2055

b) und bc) unter Annahme exponentielles Wachstum

b = (116000/25000)^(1/(1990 - 1920)) = 1.022166598

f(x) = 25000·1.022166598^(x - 1920)

f(2020) = 223928

f(x) = 200000 --> x = 2015

c) Untersuche unter jeder der beiden Annahmen, in welchem Jahr die Einwohnerzahl die Marke von 200'000 erstmals übertreffen wird.

oben mit gemacht.

Comments

Vielen vielen Dank für den überschaubaren Lösungsweg

Answer 2

zu b)

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Exponentialfunktion f(x)=a^(x)

kommt in der Form vor N(t)=No*a^(t)

No=25000 Einwohner bei t=0  1920

bei t=70 Jahre  von 1920 bis 1990  N(70)=116000 Einwohner

N(70)=116000=25000*a^(70)

116000/25000=116/25=a^(70)

a=70.te Wurzel(116/25)=1,022166..

N(t)=25000*1,022^(t)

von 1920 bis 2020 sind 100 Jahre

N(100)=25000*1,022^(100)=220307,65..Einwohner

c) N(t)=200000

200000=25000*1,022^(t)

200.000/25.000=8=1,022^(t)  logarithmiert

ln(8)=ln(1,022^t)=t*ln(1,022) siehe Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)

t=ln(8)/ln(1,022)=95,556.. Jahre

Hinweis:Du kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 verwenden

t= log(8)/log(1,022)=95,556 Jahre

zu a) lineares Wachstum ist eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b

Steigung (Sekantensteigung) m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

P1(0/25000) und P2(70/116000)

m=(116000-25000)/(70-0)=1300 Einwohner /Jahr

y=f(t)=1300*x+b  nun b mit einer der beiden Punkte berechnen

wir nehmen P1(0/25000)

f(0)=25000=1300*0+b ergibt b=25000 Einwohner

Funktion y=f(t)=1300 Einwohner/Jahr*t+25000 Einwohner

t=100 Jahre

f(100)=1300*100+2500=155000 Einwohner

f(t)=200.000=1300*t+25000

t=(200.000-25.000)/1300=134,61 Jahre

Prüfe auf Rechen und Tippfehler.

~plot~25000*1,022^x;[[0|105|0|230000]];x=95,5~plot~