quadratische Form in Matrix umschreiben und beweis, dass diese Quadriken paarweise nicht äquivalent sind

Question

Betrachten Sie die folgenden quadratischen Formen. Geben Sie jeweils die zugehörigen Matrizen in Mat(3x3, ℝ) an und zeigen Sie, dass die Quadriken paarweise nicht geometrisch äquivalent sind.

(i) 1 = x² + y²+ z²
(ii) 1 = x² + x²
(iii) 1 = x² + y² − z²
(iv) 1 = x² − y²

Answer 1

Aloha :)$$1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$$$1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{r}2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$$$1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$$$1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

Comments

Und um zu zeigen, dass die Quadriken paarweise nicht geometrisch äquivalent sind, nehme ich mir die zugehörigen Matrizen der einzelnen Quadriken und vergleiche jeweils, ob die Ränge gleich sind oder nicht? also wenn sie unterschiedlich sind, sind sie nicht paarweise geom. äauivalent.

Hier muss also im Prinzip den geometrischen Klassifikationssatz nutzen und zeigen, dass das Gegenteil gilt, oder?