Hallo,
nochmal zum Verständnis:
Im Falle der Suche nach der 'best passenden Funktion' \(f(x)\) wird ein Modell gewählt, was ganz allgemein so aussieht:$$f(x) = \alpha_1 \cdot \varphi_1(x) + \alpha_2 \cdot \varphi_2(x) + \alpha_1 \cdot \varphi_2(x) + \dots $$Im Falle eines (üblichen) Polynoms, wären die \(\varphi_k\) ganz einfach$$\varphi_k = x^{k-1} \quad \implies \varphi_1(x)=1, \quad \varphi_2(x) = x, \quad \varphi_3(x)=x^2, \dots$$und gesucht werden immer die \(\alpha_k\), also beim Polynom die Koeffizienten des Polynoms. Das Kriterium dabei ist es, die Quadratesumme aller Abweichungen zu den 'Messpunkten' \(y_i\) zu minimieren$$\sum_i (f(x_i) - y_i)^2 \to \min $$Die \(\alpha_k\) werden anschließend nach den Werte der \(\varphi_k(x_i)\) und \(y_i\) optimiert, wobei es dann egal ist, wie die \(\varphi_k(x_i)\) berechnet worden sind. Wichtig dabei ist, dass das Verfahren - die Minimierung der Quadratesummen aller Abweichungen - immer das gleiche bleibt.
Für ein Polynom, was zwingend durch den Nullpunkt gehen soll, setzt man einfach die \(\varphi_k\) wie folgt $$\varphi_k = x^{k} \quad \implies \varphi_1(x)=x, \quad \varphi_3(x)=x^2, \dots$$was dann zu Deinem Fall mit der kubischen Gleichung durch den Nullpunkt führt:$$f(x) = \alpha_1 x + \alpha_2 x^2 + \alpha_3x^3$$oder wenn gefordert ist, dass das Polynom die X-Achse bei \(x^*\) schneiden soll, setzt man ... $$\varphi_k = (x-x^*)^{k} \quad \implies \varphi_1(x)=x-x^*, \quad \varphi(x)=(x-x^*)^2, \dots$$
Die dann berechneten \(\alpha_k\) passen dann natürlich nur zu den angenommenen \(\varphi_k\). Gegebenfalls muss man dann in einem Nachlauf noch die eigentlichen Koeffizienten \(a_k\) des Polynoms ausrechnen, damit es die klassische Form annimt$$f(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^{k-1}$$ Mehr dazu gibt es z.B. bei Wiki; wenn auch etwas anstrengend zu lesen.
Gruß Werner
