Warum ändert sich das Vorzeichen beim Spaltentausch einer Matrix?

Question

Aufgabe:

$$ |A|=\left|\begin{array}{rrrr} {0} & {1} & {-5} & {1} \\ {2} & {2} & {0} & {1} \\ {3} & {4} & {0} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {-2} \end{array}\right| $$
Vertauschen der \( 3 . \) Spalte und \( 1 . \) Spalte, dadurch andert sich das Vorzeichen der Determinante. Dann wird von der 3. Zeile das Zweifache der 2. Zubtrahiert, was die gewünschte Dreiecksgestalt bringt:
$$ |A|=-\left|\begin{array}{cccc} {-5} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {2} & {1} \\ {0} & {4} & {3} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {-2} \end{array}\right| \Rightarrow|A|= \color{#00F}{-} \left| \begin{array}{rrrr} {-5} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {-2} \end{array} \right|=-[(-5) \cdot 2 \cdot(-1) \cdot(-2)]=20 $$

Ich verstehe nicht ganz warum sich das Vorzeichen ändert! Kann das jemand erklären?

Answer 1

Hi,

das ist einfach eine Rechenregel im Umgang mit Determinanten ;).

Siehe bspw. hier: 39.9 d) auf Seite 5 : http://www.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/MFI2/kap39.pdf

kap39.pdf (0,2 MB)

Grüße

Comments

Und spielt es keine Rolle welche Spalten ich vertausche?

Was passiert wenn ich zwei Spalten in einer 4x4 Matrix gleichzeitig vertausche? Ist das -- = +?

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Also, wenn Du sie nicht miteinander vertauschst^^, ist das ein doppelter Tausch und folglich sind wir wieder positiv, ja ;).