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Aufgabe:

Weisen Sie die Gültigkeit der Formel für die Determinante eine 3 × 3-Matrix
det(A) = det(a11a12 a13
                    a21a22 a23

                  a31a32 a33)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach.


Problem/Ansatz:

Komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter.

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Aloha :)

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:$$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}\left|\begin{array}{c}a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{c}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}  -  a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$$

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