Gültigkeit der Formel für die Determinante einer 3 × 3-Matrix mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nachweisen.

Question

Aufgabe:

Weisen Sie die Gültigkeit der Formel für die Determinante eine 3 × 3-Matrix
det(A) = det(a₁₁a₁₂ a₁₃
                    a₂₁a₂₂ a₂₃

                  a₃₁a₃₂ a₃₃)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes nach.

Problem/Ansatz:

Komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Wir entwickeln die Determinante nach der ersten Zeile:$$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}\left|\begin{array}{c}a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{c}a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}  -  a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$$$$\phantom{\operatorname{det}(A)}=a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$$