Question

Sei V ein K-Vektorraum und seien U1, U2 ⊂ V Untervektorräume. Zeigen Sie, dass U1 ∪ U2 genau dann wieder ein Untervektorraum von V ist, wenn U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1

Hallo,

mein Ansatz lautet bislang wiefolgt:

"-->":

Sei U1∪U2 ein Untervektorraum und seien u1,...,un ∈ U1 ∪ U2 beliebig.

Dann ist u1,...,un ∈ U1 oder u1,...,un ∈ U2.

Seien u1,...,un ∈ U1 und u1,...,un ∉U2. Dann folgt das U1 ∪ U2 = U1. D.h das U2 ⊂ U1. (analog zu u1,...,un ∉ U2 und u1,...,un ∈ U2).

"<--":

Seien U1, U2 Untervektorräume von V und sei desweiteren U1 ⊂ U2.

Da U1 ⊂ U2, ist jedes Element aus U1 in U2 enthalten. Daraus folgt, das U1 ∪ U2 = U2 und da U2 nach Voraussetzung ein Untervektorraum darstellt, folgt das auch U1 ∪ U2 ein Vektorraum darstellt (analog zu U2 ⊂ U1).

Wäre dieser Beweis so richtig? Bin leider ziemlich unsicher was beweise angeht.

:)

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Von erster Version:

Titel: Beweis für Untervektorräume so richtig?

Stichworte: untervektorraum,vektorraum,beweise

Hallo,

meine Aufgabe lautet:

Sei V ein K-Vektorraum und seien U1, U2 ⊂ V Untervektorräume. Zeigen Sie, dass U1 ∪ U2 genau dann wieder ein Untervektorraum von V ist, wenn U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1.

Da ich in Beweisen noch etwas unsicher bin, wollte ich nachfragen, ob meine Beweisführung bislang so richtig wäre.

Seien U1, U2 Untervektorräume von V und sei desweiteren U1 ⊂ U2.

Da U1 ⊂ U2, ist jedes Element aus U1 in U2 enthalten. Daraus folgt, das U1 ∪ U2 = U2 und da U2 nach Voraussetzung ein Untervektorraum darstellt, folgt das auch U1 ∪ U2 ein Vektorraum darstellt (analog zu U2 ⊂ U1). Ist das so richtig bzw. wäre das ausreichend so dargestellt.

Answer 1

Dann ist u1,...,un ∈ U1 oder u1,...,un ∈ U2.

Das ist nicht richtig. Es kann zum Beispiel u1 ∈ U1 und u2 ∈ U 2 sein.

Stattdesen: Sei U1∪U2 ein Untervektorraum. Es genügt zu zeigen, dass U2 ⊄ U1 ⇒ U1 ⊂ U2 gilt. Sei dazu U2 ⊄ U1 und u ∈ U1.

Sei v ∈ U2\U1. Dann ist u+v ∈ U1∪U2, also u+v ∈ U1 oder u+v ∈ U2.

Ist u+v ∈ U1, dann ist v = u+v-u ∈ U1 im Widerspruch zu v ∈ U2\U1. Also muss u+v ∈ U2 sein. Dann ist auch u = u+v-v ∈ U2.

TODO Warum gibt es ein v ∈ U2\U1?

"<--"

Richtig.

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Danke dir für die ausfürliche Erklärung!

Zum To-Do:

Da nach Annahme U2 ⊄ U1 - - > ∃x ∈ U2: x ∉ U1. Das ist dann das v.

Aber das müsste ich nicht im Beweis selbst erklären, oder?

Und wäre das ausreichend für die Hinrichtung?. Weil ich nicht was ich aus u ∈ U2 folgern sollte. Das das ein Widerspruch ist da u nach Annahme ∈ U1?

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Oder könnte ich eventuell so argumentieren? :

u + v ∈ U2 - - > u ∈ U2 - - > ∀x ∈ U2: x ∈ U1 - - > U2 ⊂ U1. Widerspruch nach Annahme.

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Aber das müsste ich nicht im Beweis selbst erklären, oder?

Da das ja der Sinn hinter der Wahl von U2 ⊄ U1 ist, wird dir der, der dir für die Bearbeutung der Aufgabe Punkte gibt, wohl zutrauen, dass du diese Problematik erkannt hast. Garantieren kann ich das aber nicht.

Wenn man jede einzelne Schlussfolgerung begründet, dann wird der Beweis auch zu lang. Ich habe "Dann ist u+v ∈ U1∪U2" ja auch nicht begründet.

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Weil ich nicht was ich aus u ∈ U2 folgern sollte.

Ich habe u ∈ U1 ⇒ u ∈ U2 für jedes u gezeigt.

Das ist laut Defintion gleichbedeutend mit U1 ⊂ U2.

Answer 2

Richtig aber nicht vollständig.

Zeigen Sie, dass U1 ∪ U2 genau dann wieder ein Untervektorraum von V ist, wenn U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1.

Du hast gezeigt, dass

Wenn U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1

Dann ist U1 ∪ U2 ein UVR

Jetzt musst du noch zeigen, dass

Wenn U1 ∪ U2 ein UVR ist

Dann gilt U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1

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Hi, Danke dir erstmal für deine Antwort.

Würde für die Hinrichtung das hier ausreichen ?:

Sei U1∪U2 ein Untervektorraum und seien u1,...,un ∈ U1 ∪ U2 beliebig.

Dann ist u1,...,un ∈ U1 oder u1,...,un ∈ U2.

Seien u1,...,un ∈ U1 und u1,...,un ∉U2. Dann folgt das U1 ∪ U2 = U1. D.h das U2 ⊂ U1. (analog zu u1,...,un ∉ U2 und u1,...,un ∈ U2).

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Dann ist u1,...,un ∈ U1 oder u1,...,un ∈ U2.

Warum? Es könnte doch zB auch u1 in U1 und u2 in U2 liegen?

Seien u1,...,un ∈ U1 und u1,...,un ∉U2.

Warum geht das? Z.B. Falls u1=0 ist das nicht möglich.

Dann folgt das U1 ∪ U2 = U1

Nein.

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Du kannst die Hinrichtung mit einem Widerspruchsbeweis zeigen, indem du annimmst, dass \(U_1 ⊄  U_2 \) und \( U_2 ⊄ U_1 \)