Binomialkoeffizient Grenzwert

Question

ich muss zeigen, dass der Grenzwert endlich ist. Leider komme ich hier aber nicht sehr weit. Ich hoffe, es kann mir hier jemand helfen.

\( \lim\limits_{k\to\infty} \frac{\binom{n}{k}}{k^{-1-n}}\)

Meine Überlegung:

\( \lim\limits_{k\to\infty} \frac{\binom{n}{k}}{k^{-1-n}}\)  = \( \lim\limits_{k\to\infty} \frac{\frac{n \cdot \dots \cdot (n-k+1) }{k!}}{k^{-1-n}}\) = \( \lim\limits_{k\to\infty} \frac{n \cdot \dots \cdot (n-k+1) }{k! k^{-1-n}}\)

Ab hier komm ich leider nicht weiter.

Vielen Dank schon mal :)

Answer 1

Nur mal zur Klarstellung: k geht gegen unendlich, während n fest und endlich ist?

Irgendwann ist also k>n?

Comments

Ich sollte zeigen, dass es in O(k^-1-n) ist, also bin ich beim Umschreiben davon ausgegangen. n ist eine reelle Zahl größer gleich 0

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Damit gehst du zielsicher an meinen Bedenken vorbei (und erzeugst neue Bedenken).

n ist eine reelle Zahl größer gleich 0

n ist also nicht mal zwingend ganzzahlig?

also bin ich beim Umschreiben davon ausgegangen

Das klingt nach: "Ich habe meine Eigeninterpretation der Aufgabe gepostet"

Gibt es auch eine Originalversion der Aufgabe?

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Sei \( n \in \mathbb{R} \) mit \( n \geq 0 \) . Zeigen Sie \( \binom{n}{k} \in O(k^{-1-n})\) .

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Tut mir leid, ich muss passen.

Was ist eigentlich mit

O(k^-1-n)

gemeint?

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Also mal eine Definition von O:

\( f \in O(g) \Leftrightarrow lim _{n \rightarrow \infty} sup \frac{f(n)}{g(n)} < \infty\) .

Deshalb auch meine Umschreibung. Entschuldige für die Verwirrung.

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Tut mir leid, auch jetzt fehlt mir das notwendige Wissen. Ich habe auch keine Ahnung, wieso du im Rahmen der jetzt gelieferten Definition offensichtlich für g(x) den Term \(k^{-1-n}\) eingesetzt hast.

Gibt es auch eine verborgene Definition für g(x)?