Aufgabe mit Halbwertszeit Atomkerne

Question

Aufgabe:

Die Anzahl der radioaktiven Atomkerne in einem Präparat nimmt exponentiell ab. Zu Beginn des Experiments waren \( 4.2 \cdot 10^{20} \) Kerne vorhanden, nach 5 Stunden waren es noch \( 1.7 \cdot 10^{16} \) Kerne. Wieviel % der Kerne zerfallen pro Stunde, und wieviele Kerne sind nach 12 Stunden noch vorhanden? Welche Halbwertszeit hat die Substanz?

Answer 1

N(t) = 4,2*10^20 * e^(k*t)              t in Stunden

==> 1,7 * 10^16 = N(5) = 4,2*10^20 * e^(k*5)   | : (4,2*10^20)

==>   0,40 * 10^(-4) = e^(k*5)     |  ln(….)

==>  -10,1 = k*5

==> - 2,02 = k

Also   N(t) = 4,2*10^20 * e^(-2,02*t)   =  4,2*10^20 * e^(-2,02*t) = 4,2*10^20 * 0,133^t

also zerfallen pro Stunde etwa 87%.

==>  N(12) = 4,2*10^20 * e^(-24,3)    = 1,17*10^10

Halbwertszeit      0,5 =  e^(-2,02*t)

                    ln(0,5) = -2,02 * t

                 ==>  0,34 = t

Also 0,34 h Halbwertszeit.

Answer 2

1,7*10^16 = 4,2*10^20*a^5

a= (1,7/(4,2*10^4))^(1/5) = 0,1323 (Zerfallsfaktor)

Es zerfallen 13,23% pro Stunde

f(12)= 4,2*10^20*0,1323^12 = 1,2*10^10 = 12 Milliarden

HWZ:

0,5= a^t

t= ln0,5/lna = 0,34 h = 20,4 min

Answer 3

9. Die Anzahl der radioaktiven Atomkerne in einem Präparat nimmt exponentiell ab. Zu Beginn des Experiments waren 4.2⋅1020 Kerne vorhanden, nach 5 Stunden waren es noch 1.7⋅10^16 Kerne. Wieviel \% der Kerne zerfallen pro Stunde, und wieviele Kerne sind nach 12 Stunden noch vorhanden? Welche Halbwertszeit hat die Substanz?

M0 = Anfangsmenge = 4.2 * 10^20
M( t ) = Menge zu einer bestimmten Zeit = M0 * q ^t
M ( 5 ) = 4.2 * 10^20 * q ^5 = 1.7 * 10^16
q = 0.13226
M( t ) = M0 * 0.13226 ^t

Nach 1 Std sind noch 13.226 % vorhanden,
86,774 % sind zerfallen.

M(12) = 4.2 * 10^20 * 0.13226 ^12 = 1.2 * 10^10
Nach 12 Std sind noch 1.2 * 10 ^10 Kerne vorhanden

M( t ) = M0 * 0.13226 ^t
Bei der Halbwertzeit ist nur noch die Hälfte der
Ausgangsmenge vorhanden
M( t ) / M0 = 0.5
M( t ) / M0 = 0.13226 ^t = 0.5
0.13226 ^t = 0.5
t = 0.3426 Stunden

Answer 4

Die Zerfallsfunktion f hat den Ansatz: f(t)=a·b^t.

Hier werden die gegebenen Wertepaare (0|4.3·10²⁰) und (5|1,7·10¹⁶) eingesetzt. Das ergibt a=4.3·10²⁰ und 1,7·10¹⁶=4.3·10²⁰·b⁵ oder b⁵=17/430000. Dann ist b≈0,13 und f(t)=4.3·10²⁰·0,13^t.

87% der Kerne zerfallen pro Stunde,

f(12)≈1,025·10¹⁰ Kerne sind nach 12 Stunden noch vorhanden

Welche Halbwertszeit hat die Substanz?

1/2=0.13^t; t≈0,34 Stunden≈20,4 Minuten