Es sei A eine Matrix. Was ist A^{2020}?

Question

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) eine Matrix, für die

(1) \( A^{2}+A+E_{2}=0 \)

und

(2) \( A^{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\right) \)

gilt.

Was ist \( A^{2020} ? \)

Muss der Ansatz lauten: \( A^{2·1010} \)?

Answer 1

A^2 + A + E = 0
A^2 = -A - E
A^3 = -A^2 - A
A^3 = -(-A - E) - A
A^3 = A + E - A = E

A^2020 = A^(3*673) * A = E * A = A

A = -A^2 - E = -[1, -1; 3, -2] - [1, 0; 0, 1] = [-2, 1; -3, 1]

A^2020 = [-2, 1; -3, 1]

Comments

Ich verstehe den Gedankengang irgendwie nicht..

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Und ich verstehe nicht was du nicht verstehst.

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Wie kommen Sie beispielsweise auf den Exponenten 3*673

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2020 = 3 * 673 + 1

oder nicht?

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Es wäre lieb wenn Sie erläutern könnten Sie man auf diese Rechnung kommt:

A2 + A + E = 0
A2 = -A - E
A3 = -A2 - A
A3 = -(-A - E) - A
A3 = A + E - A = E

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Du hast doch

A^2 + A + E = 0

als Gleichung bekommen. Also soll man damit vermutlich etwas machen. Die Frage ist nur was.

Eine Möglichkeit ist A aus A^2 auszurechnen

A = -A^2 - E

Das habe ich später benutzt. Weiter kann man überlegen was man noch tun könnte. Na einfach A^2 aus A berechnen.

A^2 = -A - E

Aber A^2 langt ja nicht. Eigentlich brauchen wir ja A^2020. Also kann man probieren erstmal A^3 zu berecchnen

A^3 = (-A - E)*A = -A^2 - A

Da wir A^2 kennen können wir das auch einsetzen

A^3 = -A^2 - A = -(-A - E) - A = A + E - A = E

Günstiger weise stellt sich hier schon heraus das A^3 die Einheitsmatrix ist was uns hier jetzt schon in die Hände spielt, weil es das weitere Vorgehen doch arg vereinfacht.

Du siehst wichtig ist sich im Klaren zu sein was man hat und auch mal nachzudenken was man mit gegebenen Sachen alles machen kann.

Es ist auch nicht Schlimm wenn man mal etwas probiert und sieht das es nichts bringt und die Idee verwirft. Meist hat man aber Glück und das was man probiert führt zum Ziel.

Natürlich hätte man auch erstmal probieren können ein paar Potenzen der gegebenen Matrix zu berechnen. Das ist aber viel mehr Arbeit als so eine kleine Gleichung ein wenig umzuformen.