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Es sei AMat2×2(R) A \in \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) eine Matrix, für die

(1) A2+A+E2=0 A^{2}+A+E_{2}=0

und

(2) A2=(1132) A^{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\right)

gilt.

Was ist A2020? A^{2020} ?


Muss der Ansatz lauten: A2 · 1010 A^{2·1010} ?

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A2 + A + E = 0
A2 = -A - E
A3 = -A2 - A
A3 = -(-A - E) - A
A3 = A + E - A = E

A2020 = A^(3*673) * A = E * A = A

A = -A2 - E = -[1, -1; 3, -2] - [1, 0; 0, 1] = [-2, 1; -3, 1]

A2020 = [-2, 1; -3, 1]

Avatar von 491 k 🚀

Ich verstehe den Gedankengang irgendwie nicht..

Und ich verstehe nicht was du nicht verstehst.

Wie kommen Sie beispielsweise auf den Exponenten 3*673

2020 = 3 * 673 + 1

oder nicht?

Es wäre lieb wenn Sie erläutern könnten Sie man auf diese Rechnung kommt:


A2 + A + E = 0
A2 = -A - E
A3 = -A2 - A
A3 = -(-A - E) - A
A3 = A + E - A = E

Du hast doch

A2 + A + E = 0

als Gleichung bekommen. Also soll man damit vermutlich etwas machen. Die Frage ist nur was.

Eine Möglichkeit ist A aus A2 auszurechnen

A = -A2 - E

Das habe ich später benutzt. Weiter kann man überlegen was man noch tun könnte. Na einfach A2 aus A berechnen.

A2 = -A - E

Aber A2 langt ja nicht. Eigentlich brauchen wir ja A2020. Also kann man probieren erstmal A3 zu berecchnen

A3 = (-A - E)*A = -A2 - A

Da wir A2 kennen können wir das auch einsetzen

A3 = -A2 - A = -(-A - E) - A = A + E - A = E

Günstiger weise stellt sich hier schon heraus das A3 die Einheitsmatrix ist was uns hier jetzt schon in die Hände spielt, weil es das weitere Vorgehen doch arg vereinfacht.

Du siehst wichtig ist sich im Klaren zu sein was man hat und auch mal nachzudenken was man mit gegebenen Sachen alles machen kann.

Es ist auch nicht Schlimm wenn man mal etwas probiert und sieht das es nichts bringt und die Idee verwirft. Meist hat man aber Glück und das was man probiert führt zum Ziel.

Natürlich hätte man auch erstmal probieren können ein paar Potenzen der gegebenen Matrix zu berechnen. Das ist aber viel mehr Arbeit als so eine kleine Gleichung ein wenig umzuformen.

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