gleichen abstand von den Ebenen

Question

a) welche punkte auf der z-achse haben den gleichen abstand von den Ebenen

E: 7x+4y-4z-26=0; zu

F: x-4y+8z+10=0?

b) welcher dieser punkte hat den kleineren abstand von E und F?

Ich verstehe nicht, wie solche Aufgaben gelöst werden kann.
Können Sie bitte mir erklären, wie ich es lösen kann?

Answer 1

Hallo Jonas,

ist eine Ebene \(E\) in der Hesseschen Normalform gegeben $$E: \quad \vec n \cdot \vec x - d = 0, \quad |\vec n| = 1$$so hat ein Punkt \(\vec p\)  von dieser Ebene den Abstand \(e\), der sich wie folgt berechnet:$$e = \vec n \cdot \vec p - d$$In Deinem Fall sind$$E: \quad \frac 19 \begin{pmatrix}7\\ 4\\ -4\end{pmatrix} \vec x - \frac{26}9 = 0 \\ F: \quad \frac 19 \begin{pmatrix}-1\\ 4\\ -8\end{pmatrix} \vec x - \frac{10}9 = 0$$Ein Punkt \(\vec p\) auf der Z-Achse$$\vec p = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ z\end{pmatrix}$$soll von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben - wobei die Seite - also das Vorzeichen - keine Rolle spielt. $$\begin{aligned}\frac 19\left| \begin{pmatrix}-1\\ 4\\ -8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\ z \end{pmatrix} - 10 \right| &= \frac 19\left| \begin{pmatrix}7\\ 4\\ -4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\ z \end{pmatrix} - 26 \right| \\ |-8z-10| &= |-4z -26| \\ |-4z - 5| &= |-2z - 13| &&\left|\, {}^2 \right.\\ 16z^2 + 40z + 25 &= 4z^2 + 52z + 169 \\ 12z^2 - 12z - 144 &= 0 \\ z^2 - z - 12 &= 0 \\ z_{1,2} &= \frac 12 \pm \sqrt{\frac 14 + 12} = \frac 12 \pm \frac 72 \\ z_1 &= 4, \quad z_2 = - 3 \end{aligned}$$Folgende Szene zeigt das nochmal

(klick auf das Bild)

Der Abstand von \(\vec p_1\) ist \(14/3\) und der von \(\vec p_2\) ist \(14/9\). Letzterer ist also kleiner.

Gruß Werner

Answer 2

Ansatz

|7·0 + 4·0 - 4·z - 26| / √(7^2 + 4^2 + 4^2) = |0 - 4·0 + 8·z + 10| / √(1^2 + 4^2 + 8^2)

Ich erhalte folgende Lösungen:

z = 4 ∨ z = -3

Also die Punkte P(0 | 0 | 4) und Q(0 | 0 | -3)

Abstand zu E

|7·0 + 4·0 - 4·(4) - 26| / √(7^2 + 4^2 + 4^2) = 14/3

|7·0 + 4·0 - 4·(-3) - 26| / √(7^2 + 4^2 + 4^2) = 14/9

Damit hat der Punkt Q den kleineren Abstand zu den Ebenen.