Zu vorgegebenen Bedingungen soll eine passende Funktionsgleichung gefunden werden.

Question

die Aufgaben lauten

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f 3.Grades, deren Graph durch die
Punkte P(0/−5) und Q(1/0) verläuft und die x-Achse in R(5/0) berührt.

und

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion f 3.Grades, deren Graph im Punkt
P(1/4) eine Tangente besitzt, die parallel zur Winkelhalbierenden im ersten Quadranten
verläuft und im Punkt Q(0/2) eine Tangente besitzt, die parallel zur x-Achse verläuft.

Ich komme mit diesen Aufgaben leider gar nicht klar, da wir uns das Thema zum Großteil selbst beibringen müssen

vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

Aufgabe 1:

Eine Funktion 3. Grades und ihre Ableitungen:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b$$

P (0|-5) → f(0) = -5 ⇒ d = -5

Q (1|0) → f(1) = 0 ⇒ a + b + c -5 = 0 ⇔ a + b + c = 5

R (5|0) → f(5) = 0 ⇒ 125a + 25b + 5c = 5

Da der Graph die Funktion in diesem Punkt berührt, hat er dort eine Extremstelle

f'(5) = 0 ⇒ 75a + 10b + c = 0

Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen für drei Unbekannte.

Melde dich bitte, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Aufgabe 2:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b$$

Q (0|2) → f(0) = 2 ⇒ d = 2

waagerechte Tangente bedeutet, hier liegt eine Extremstelle vor:

f'(0) = 0 ⇒ c = 0

Wir haben also noch:

$$f(x)=ax^3+bx^2+2\\f'(x)=3ax^2+2bx$$

P (1|4) → f(1) = 4 ⇒ a + b = 2

Winkelhalbierende: y = x mit der Steigung 1

f'(1) = 1 ⇒ 3a + 2b = 1

Löse dieses Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl.

Answer 2

Die Informationen zum Typ der Funktion und den Punkten Q und R führen auf den Ansatz $$f(x)=a\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x-5\right)^2$$ Da der Graph von f außerdem durch P verlaufen soll, folgt noch $$f(0)=-5\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac 15$$ so dass $$f(x)=\dfrac 15\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x-5\right)^2$$ eine Gleichung der beschriebenen Funktion darstellt.

Answer 3

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion

Die Idee ist, die angegebenen Bedingungen als Gleichungen zu formulieren und dann das Gleichungssystem zu lösen.

Gleichung einer ganzrationalen Funktion f 3.Grades

(1)        f(x) = ax³ + bx² + cx + d

deren Graph durch die Punkte P(0/−5)

Einsetzen in (1) ergibt

(2)        -5 = a·0³ + b·0² + c·0 + d.

und Q(1/0) verläuft

Einsetzen in (1) ergibt

(3)        0 = a·1³ + b·1² + c·1 + d.

und die x-Achse in R(5/0)

Einsetzen in (1) ergibt

(4)        0 = a·5³ + b·5² + c·5 + d.

in R(5/0) berührt.

Das heißt f'(5) = 0.

Es ist

        f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Einsetzen von x = 0 und f'(x) = 0 ergibt

(5)        0 = 3·a·0² + 2·b·0 + c.

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (2), (3), (4), (5).

Answer 4

Eine Steckbriefaufgabe (Rekonstruktion,Modellierungsaufgabe) führt immer zu einem linearen Gleichungssystem (LGS),was dann gelöst werden muß

Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar

f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao 

f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1

f´´(x)=6*a3*x+2*a2

mit P(0/-5) → f(0)=-5 → ao=-5

Q(1/0)  und R(5/0) → doppelte Nullstelle !! (Der Graph berührt hier nur die x-Achse) → Maximum oder Minimum bei R(5/0)

1) f(1)=0=a3*1³+a2*1²+a1*1-5  aus Q(1/0)

2) f(5)=0=a3*5³+a2*5²+a1*5-5 aus R(5/0)

3) f´(5)=0=3*a3*5²+2*a2*5+1*a1=0  aus f´(5)=m=0  (Steigung)

Dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) 1*a3+1*a2+1*a1=5

2) 125*a3+25*a2+5*a1=5

3) 75*a3+10*a2+1*a1=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=0,2 und a2=-2,2 und a1=7 und ao=-5

gesuchte Funktion y=f(x)=0,2*x³-2,2*x²+7*x-5

~plot~0,2*x^3-2,2*x^2+7*x-5;[[-10|10|-10|10]];x=1;x=5~plot~