Aloha :)
Der Weg führt dich, ausgehend von \((0;0)\) entgegen des Uhrzeigersinns einmal um das Dreieck herum. Die Meilensteine auf deinem Weg sind also:$$\binom{0}{0}\stackrel{\varphi_1}{\to}\binom{2}{0}\stackrel{\varphi_2}{\to}\binom{1}{1}\stackrel{\varphi_3}{\to}\binom{0}{0}$$Die Wege \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\) sind Geraden:
$$\varphi_1:\vec r=\binom{0}{0}+t\binom{2-0}{0-0}=\binom{2t}{0}\quad;\quad t\in[0;1]$$$$\varphi_2:\vec r=\binom{2}{0}+t\binom{1-2}{1-0}=\binom{2-t}{t}\quad;\quad t\in[0;1]$$$$\varphi_3:\vec r=\binom{1}{1}+t\binom{0-1}{0-1}=\binom{1-t}{1-t}\quad;\quad t\in[0;1]$$
Das Kurvenintegral zerfällt daher in 3 Teile:
$$I=\int\limits_\varphi\binom{x+y^2}{y+1}\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{2t}{1}\binom{2}{0}dt$$$$\phantom{I}+\int\limits_0^1\binom{2-t+t^2}{t+1}\binom{-1}{1}dt+\int\limits_0^1\binom{1-t+(1-t)^2}{1-t+1}\binom{-1}{-1}dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^14t\,dt+\int\limits_0^1(-t^2+2t-1)dt+\int\limits_0^1(-t^2+4t-4)dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1(-2t^2+10t-5)dt=\left[-\frac{2}{3}t^3+5t^2-5t\right]_0^1=-\frac{2}{3}$$
Rechenfehler korrigiert.
