Aloha :)
Deine Verwirrung ist nicht deine Schuid. Die "Definition" des Kurvenintegrals ist sehr schlampig, wenn nicht sogar falsch. Zum Besipiel taucht die Variable \(t\), von der alle anderen Größen abhängen, überhaupt nicht auf.
Ich probiere mal, deine Verwirrung zu beseitigen...
zu 2a) Definition des Kurvenintegrals
Du hast ein Vektorfeld (in der Regel ein Kraftfeld) \(\vec F=\binom{u(x;y)}{v(x;y)}\) vorgegeben. Zusätzlich liegt eine Kurve \(C\) mit der Parametrisierung \(\vec r(t)=\binom{x(t)}{y(t)}\) vor, auf der du dich mit der Zeit \(t\) durch das Vektorfeld bewegst. Das Kurvenintegral gibt dann die Energie \(E\) an, die für diese Bewegung benötigt \((E>0)\) wird bzw. die dabei frei wird \((E<0)\):$$E=\int\limits_C\,\vec F(x;y)\cdot\,d\vec r$$
Allgemein wird dieses Integral berechnet, indem du die Funktionsterme \(x(t)\) und \(y(t)\) in \(\vec F\) einsetzt, sodass in dem Vektorfeld \(\vec F\) nur noch die Variable \(t\) auftritt, und du die Parametrisierung \(\vec r(t)\) der Kurve \(C\) ableitest:$$E=\int\limits_{t_{\text{start}}}^{t_\text{ende}}\vec F(x(t);y(t))\cdot\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$
Insbesondere gilt hierbei:$$d\vec r=\frac{d\vec r}{dt}\,dt\quad\implies\quad\binom{dx}{dy}=\binom{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}\,dt\quad\implies\quad dx=\frac{dx}{dt}\,dt\quad;\quad dy=\frac{dy}{dt}\,dt$$
Das Integral in der Aufgabenstellung (2a) müsste also eigentlich so lauten:$$\int\limits_C\vec F\,d\vec r=\int\limits_{t_{\text{start}}}^{t_{\text{ende}}}\left(u(x(t);y(t))\,\frac{dx}{dt}\,dt+v(x(t);y(t))\,\frac{dy}{dt}\,dt\right)$$
Wenn der Weg \(C\) aus zwei Wegstücken besteht, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen:$$C_1\colon\vec r_1(x)=\binom{x}{y_{\text{start}}}\quad;\quad x\in[x_{\text{start}};x_{\text{ende}}]$$$$C_2\colon\vec r_2(y)=\binom{x_{\text{ende}}}{y}\quad;\quad y\in[y_{\text{start}};y_{\text{ende}}]$$
zerfällt das Kurvenintegral von ganz oben in zwei Kurvenintegrale:$$E=\int\limits_{C_1}\vec F(x;y)\cdot d\vec r+\int\limits_{C_2}\vec F(x;y)\cdot d\vec r$$$$\phantom E=\int\limits_{C_1}\binom{u(x;y)}{v(x;y)}\cdot\binom{dx}{dy}+\int\limits_{C_2}\binom{u(x;y)}{v(x;y)}\cdot\binom{dx}{dy}$$$$\phantom E=\int\limits_{C_1}\left(u(x;y)\,dx+v(x;y)\,dy\right)+\int\limits_{C_2}\left(u(x;y)\,dx+v(x;y)\,dy\right)$$
Auf dem Weg \(C_1\) bewegen wir uns parallel zur x-Achse.
Der y-Wert ist konstant \(y=y_{\text{start}}\) und ändert sich nicht \((dy=0)\).
Auf dem Weg \(C_2\) bewegen wir uns parallel zur y-Achse.
Der x-Wert ist konstant \(x=x_{\text{ende}}\) und ändert sich nicht \((dx=0)\).
Für das Kurvenintegral heißt das:$$E=\int\limits_{x=x_{\text{start}}}^{x_{\text{ende}}} u(x;y_{\text{start}})\,dx+\int\limits_{y=y_{\text{start}}}^{y_{\text{ende}}} u(x_{\text{ende}};y)\,dy$$
Das sieht so aus wie die rechte Seite in eurer "Definition", insbesondere wird die Variable \(t\) hier nicht benötigt. Allerdings gilt diese Rechnung nur, wenn man sich parallel zu den Koordinatenachsen bewegt. Diese Einschränkung fehlt in eurer "Definition".
zu 2b) Abhängigkeit des Kurvenintegrals in Abhängigkeit von der Parametrisierung
Auch dieser Teil ist wieder schlampig formuliert. Wenn derselbe Weg \(C\) durch eine andere Parametrisierung dargestellt wird, ändert sich das Kurvenintegral nicht, denn es bleibt ja derselbe Weg und es ist immer noch dieselbe Energie nötig, um sich auf diesem Weg durch das Kraftfeld zu bewegen.
Wenn sich der Weg \(C\) selbst und damit auch die Parametrisierung ändert, sieht die Lage anders aus. In diesem Fall hängt es vom Kraftfeld \(\vec F\) ab, ob sich die benötigte Energie (Wert des Kurvenintegrals) ändert oder nicht. Im Allgemeinen ist der Wert des Kurvenintegrals abhängig vom gewählten Weg \(C\) durch Kraftfeld \(\vec F\).
zu 2c) Berechnung eines Wegintegrals
Beim Rundlauf durch das Vektorfeld$$\vec F(x;y)=\binom{2(x+y)}{6xy}$$bewegen wir uns auf einem Dreieck.
Die beiden Katheten verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen:$$C_1\colon\binom{0}{0}\to\binom{2}{0}\quad;\quad C_2\colon\binom{2}{0}\to\binom{2}{2}$$Die Hypotenuse ist eine Gerade von \((2;2)\) zurück nach \((0;0)\):$$C_3\colon \vec r(t)=\binom{\blue{2-2t}}{\green{2-2t}}\quad;\quad t\in[0;1]$$
Wir berechenen für jedes Teilstück das entsprechende Kurvenintegral:$$E_1=\int\limits_{(0;\pink0)}^{(2;\pink0)}\binom{2(x+y)}{6xy}\cdot\binom{dx}{dy}=\int\limits_{x=0}^2\binom{2(x+\pink0)}{6x\cdot\pink0}\cdot\binom{dx}{\pink0}=\int\limits_{x=0}^22x\,dx=4$$$$E_2=\int\limits_{(\pink2;0)}^{(\pink2;2)}\binom{2(x+y)}{6xy}\cdot\binom{dx}{dy}=\int\limits_{y=0}^2\binom{2(\pink2+y)}{6\cdot\pink2\cdot y}\cdot\binom{\pink0}{dy}=\int\limits_{y=0}^212y\,dy=24$$$$E_3=\int\limits_{t=0}^{1}\binom{2(\blue x+\green y)}{6\blue x\green y}\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^1\binom{2(\blue{(2-2t)}+\green{(2-2t)})}{6\blue{(2-2t)}\green{(2-2t)}}\cdot\binom{\blue{-2}}{\green{-2}}\,dt$$$$\phantom{E_3}=\int\limits_{t=0}^18\cdot\binom{1-t}{(3-6t+3t^2)}\cdot(-2)\binom{1}{1}\,dt=-16\int\limits_{t=0}^1\left(1-t+3-6t+3t^2\right)dt$$$$\phantom E=-16\int\limits_{t=0}^1\left(4-7t+3t^2\right)dt=-24$$
Das gesamte Kurvenintegral beträgt also: \(E=E_1+E_2+E_3=4\).
