Zeigen Sie dazu der Reihe nach folgende Aussagen

Question

(a) Berechnen Sie \( \cos \frac{2 \pi}{5} \) und \( \sin \frac{2 \pi}{5} \). Zeigen Sie dazu der Reihe nach folgende Aussagen:

(i) \( \sin (2 \alpha)=2 \sin \alpha \cos \alpha \)
(ii) \( \cos (2 \alpha)=2 \cos ^{2} \alpha-1 \)
(iii) \( \cos (3 \alpha)=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha \)
(iv) für \( \alpha=\frac{2 \pi}{5} \) gilt \( \cos (2 \alpha)=\cos (3 \alpha) \)
(v) das Polynom \( 4 x^{3}-2 x^{2}-3 x+1 \) hat eine Nullstelle bei \( x=\cos \frac{2 \pi}{5} \)
(vi) \( \cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \) (Hinweis: \( 4 x^{3}-2 x^{2}-3 x+1=(x-1)\left(4 x^{2}+2 x-1\right) \) )
(vii) \( \sin \frac{2 \pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2 \sqrt{5}}}{4} \)

(b) Berechnen Sie die (exakten) Kantenlängen und den (exakten) Flächeninhalt des in den
Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen Fünfecks.

Comments

Hallo

 was kannst du denn nicht? du brauchst erst mal nur die Additionstheoreme sin(a+b)=.. und cos(a+b)

dann geht das aufbauend von Punkt zu Punkt weiter. also leg los und zeig wie weit du kommst.

lul

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Ich habe bei b) probleme

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Hallo

 wenn du nur b nicht kannst, warum sagst du das nicht gleich, und sparst Helfern Zeit?

lul

Answer 1

b) Berechnen Sie die (exakten) Kantenlängen und den (exakten) Flächeninhalt des in den Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen Fünfecks.

Also du hast gezeigt

SIN(2·pi/5) = √(2·√5 + 10)/4
COS(2·pi/5) = (√5 - 1)/4

Ebenso weist du

SIN(0) = 0
COS(0) = 1

Daraus berechnest du die Kantenlänge mit Pythagoras

a = √((1 - (√5 - 1)/4)^2 + (√(2·√5 + 10)/4 - 0)^2) = √(10 - 2·√5)/2

oder mit dem Cosinussatz

a = √(1^2 + 1^2 - 2·1^2·(√5 - 1)/4) = √(10 - 2·√5)/2

Und den Flächeninhalt

A = 5·1/2·1^2·√(2·√5 + 10)/4 = 5/8·√(2·√5 + 10)